Resolva as seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem:
g. d yd t-tan (t) y=cos (t)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de primeira ordem tfracdydt-tan(t),y=cos(t). O conteúdo aqui é EDO linear de 1ª ordem e vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Identificamos p(t)=-tan(t) e q(t)=cos(t). O fator integrante é dado por
mu(t)=e^integral p(t),dt=e^integral(-tan t),dt=e^ln(cos t)=cos t

Passo 3

Multiplicamos a equação original por mu(t)=cos t e vemos que o lado esquerdo vira derivada de produto:
cos tdydt-sin t,y=ddtl(cos t,yr)
Então a EDO fica tfracddt(cos t,y)=cos^2 t.

Passo 4

Integramos ambos os lados:
cos t,y=integralcos^2 t,dt=integral1+cos(2t)2,dt=t2+sin(2t)4+C

Passo 5

Isolamos y e simplificamos usando sin(2t)=2sin tcos t:
y=tfract2+tfracsin(2t)4+Ccos t =t2cos t+sin t2+Csec t

Resposta

A solução geral é
y(t)=t2cos t+sin t2+Csec t,
onde C é constante arbitrária.

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