Resolva as seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem:
j. d yd x-4 y=2 x-4 x^2

Passo 1

Aqui temos a EDO linear de primeira ordem dydx - 4y = 2x - 4x^2. O assunto é equações diferenciais lineares e vamos usar fator integrante para resolver.

Passo 2

O fator integrante é mu(x) = e^integral -4,dx = e^-4x. Multiplicando a equação por e^-4x o lado esquerdo vira derivada de produto:
ddx(y e^-4x) = (2x - 4x^2)e^-4x

Passo 3

Agora integramos ambos os lados. Calculamos
integral (2x - 4x^2)e^-4x dx
Dividimos em integral 2x e^-4xdx e integral x^2 e^-4xdx e aplicamos integração por partes em cada caso. O resultado é
x^2 e^-4x + C

Passo 4

Da integração obtemos
y e^-4x = x^2 e^-4x + C
Multiplicando por e^4x fica
y(x) = x^2 + Ce^4x

Resposta

y(x) = x^2 + Ce^4x

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