Ache a solução geral de cada uma das equações diferenciais abaixo:
e. d^2 yd x^2+5 d yd x=0.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes: y'' + 5y' = 0. O conteúdo aqui é EDO linear homogênea com coeficientes constantes e a ideia é usar a equação característica.

Passo 2

Para montar a equação característica, substituímos y sim e^rx, Então y' sim r e^rx e y'' sim r^2 e^rx. Substituindo na EDO, obtemos:
r^2 e^rx + 5r e^rx = 0

Passo 3

Pode tirar o fator e^rx (que nunca é zero) e fica:
r^2 + 5r = 0

Passo 4

Agora fatoramos o polinômio:
r(r + 5) = 0,

Passo 5

logo as raízes são r1 = 0 e r2 = -5.

Passo 6

Como as raízes são reais e distintas, a solução geral é da forma
y(x) = C1 e^r1 x + C2 e^r2 x,

Passo 7

onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x) = C1 + C2 e^-5x

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