Encontre a solução geral de x y^prime-4 y=x^6 e^x.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
x,y' - 4,y = x^6 e^x
Isso é uma equação linear em y, e vamos usar o método do fator integrante para encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro colocamos a equação na forma padrão y' + P(x)y = Q(x). Dividindo tudo por x (supondo xneq0) temos:
y' - 4xy = x^5 e^x

Passo 3

O próximo passo é calcular o fator integrante
mu(x) = e^integral P(x),dx = e^integrall(-tfrac4xr)dx = e^-4ln|x| = x^-4

Passo 4

Multiplicamos a equação padrão por mu(x)=x^-4. Isso dá:
x^-4y' - 4x^-5y = x^-4cdot x^5 e^x = x e^x
Repare que o lado esquerdo é a derivada do produto x^-4y:
ddxl(x^-4yr) = x e^x

Passo 5

Agora integramos ambos os lados em relação a x:
x^-4y = integral x e^x ,dx = (x - 1)e^x + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Por fim, isolamos y:
y = x^4l((x - 1)e^x + Cr) = x^5 e^x - x^4 e^x + C x^4

Resposta

y = x^5 e^x - x^4 e^x + C x^4

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