Mostre que y=C cdot e^-2 x é uma solução para a equação diferencial y^prime+2 y=0 e encontre a solução particular determinada pela condição inicial y(0)=3.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função y = C · e^{-2x} satisfaz a EDO y’ + 2y = 0 e, em seguida, encontrar a solução específica que atende a y(0)=3. O conteúdo aqui é equações diferenciais de primeira ordem homogêneas e vamos precisar usar derivada de exponencial e condição inicial.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada de y em relação a x. Como y = C · e^{-2x}, usamos a regra da cadeia para exponenciais:
ddxl(C e^-2xr) = C cdot (-2) e^-2x = -2C e^-2x

Passo 3

Agora substituímos y e y’ na equação y’ + 2y = 0. Temos y’ = -2C e^{-2x} e y = C e^{-2x}, logo:
(-2C e^-2x) + 2(C e^-2x) = -2C e^-2x + 2C e^-2x = 0
Isso confirma que y = C e^{-2x} é realmente uma solução geral da EDO.

Passo 4

Para achar a solução particular, impomos a condição inicial y(0) = 3. Substituindo x = 0 em y = C e^{-2x}, obtemos:
y(0) = C e^0 = C = 3
Portanto, C = 3 e a solução que satisfaz a condição inicial é y = 3 e^{-2x}.

Resposta

y = 3 e^{-2x}

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