Mostre que
é uma solução para a equação diferencial
e encontre a solução particular determinada pela condição inicial
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a função y = C · e^{-2x} satisfaz a EDO y’ + 2y = 0 e, em seguida, encontrar a solução específica que atende a y(0)=3. O conteúdo aqui é equações diferenciais de primeira ordem homogêneas e vamos precisar usar derivada de exponencial e condição inicial.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada de y em relação a x. Como y = C · e^{-2x}, usamos a regra da cadeia para exponenciais:
Passo 3
Agora substituímos y e y’ na equação y’ + 2y = 0. Temos y’ = -2C e^{-2x} e y = C e^{-2x}, logo:
Isso confirma que y = C e^{-2x} é realmente uma solução geral da EDO.
Passo 4
Para achar a solução particular, impomos a condição inicial y(0) = 3. Substituindo x = 0 em y = C e^{-2x}, obtemos:
Portanto, C = 3 e a solução que satisfaz a condição inicial é y = 3 e^{-2x}.
Resposta
y = 3 e^{-2x}