Resolva os problemas de valor inicial abaixo:
c. d yd x-2 y=e^2 t, y(0)=2.

Passo 1

O enunciado apresenta a EDO linear de primeira ordem
Precisamos resolver
dydt-2y=e^2t, y(0)=2
O conteúdo é EDO linear e vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Escrevemos a equação na forma y'+p(t)y=g(t) com p(t)=-2 e g(t)=e^2t. O fator integrante é
mu(t)=e^integral p(t),dt=e^-2t

Passo 3

Multiplicamos a equação original por mu(t)=e^-2t:
e^-2ty'-2e^-2ty= e^-2te^2t=1
Repare que o lado esquerdo é a derivada de e^-2ty:
ddtl(e^-2tyr)=1

Passo 4

Agora integramos ambos os lados em t:
ddtl(e^-2tyr)=1
implies e^-2ty=t+C,
onde C é constante de integração.

Passo 5

Aplicamos a condição inicial y(0)=2:
e^-2cdot0cdot2=0+Cimplies C=2
Substituindo em e^-2ty=t+C, obtemos a solução:

Passo 6

A solução geral com a constante ajustada é
y(t)=e^2t(t+2)

Resposta

y(t)=e^{2t}(t+2)

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