Ache a solução geral de cada uma das equações diferenciais abaixo:
c. 6 d^2 yd x^2-d yd x-y=0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
6d^2ydx^2 - dydx - y = 0
Vamos usar o método da equação característica.

Passo 2

Para aplicar o método, supomos uma solução da forma y=e^rx. Substituindo em y, y' e y'' na equação, obtemos a equação característica:
6r^2 - r - 1 = 0

Passo 3

Agora, resolvemos a equação quadrática 6r^2 - r - 1 = 0 usando a fórmula de Bhaskara:
r = 1 pm raiz(-1)^2 - 4cdot6cdot(-1)2cdot6 = 1 pm raiz1 + 2412 = 1 pm 512
Isso dá as raízes r1 = tfrac612 = tfrac12 e r2 = tfrac-412 = -tfrac13.

Passo 4

Como são duas raízes reais distintas, a solução geral é a combinação linear das exponenciais:
y(x) = C1e^r1x + C2e^r2x = C1e^x2 + C2e^-tfracx3

Resposta

y(x) = C1e^tfracx2 + C2e^-tfracx3

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