Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
c. lx d yd x=y+4 x^5 cos ^2(yx), y(2)=0

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO de primeira ordem com condição inicial:
x,dydx = y + 4 x^5 cos^2l(tfracyxr),
y(2)=0. Para resolver isso, vamos usar a substituição homogênea v = tfracyx.

Passo 2

Dividindo a equação por x, obtemos a forma padrão
dydx = yx + 4 x^4 cos^2l(tfracyxr)
Como aparece tfracyx, indicamos a substituição y = v x.

Passo 3

Derivando y = v x temos
dydx = v + xdvdx
Substituindo na EDO original:
v + xdvdx = v + 4 x^4 cos^2(v)
Cancelando v em ambos os lados:
xdvdx = 4 x^4 cos^2(v) Longrightarrow dvdx = 4 x^3 cos^2(v)

Passo 4

Separamos variáveis:
dvcos^2(v) = 4 x^3 ,dx
Integrando ambos os lados:
integral sec^2(v),dv = integral 4 x^3,dx Longrightarrow tan(v) = x^4 + C

Passo 5

Voltando a v = tfracyx, a solução implícita geral é
tanl(tfracyxr) = x^4 + C
Aplicando a condição y(2)=0
0 = tan(0) = 2^4 + C implies C = -16,
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tanl(tfracyxr) = x^4 - 16

Resposta

y = x arctan(x^4 - 16)

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