Ache a solução geral de cada uma das equaçöes diferenciais seguintes.
2 y^prime prime-2 raiz2 y^prime+y=0.

Passo 1

Então, temos a equação diferencial 2 y'' - 2 raiz2 y' + y = 0. Vamos resolver essa equação encontrando sua solução geral. Para isso, vamos usar o método das equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Precisaremos encontrar as raízes da equação característica associada para determinar a forma da solução.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a equação característica da equação diferencial dada. Para uma equação da forma a y'' + b y' + c y = 0, a equação característica é a r^2 + b r + c = 0. No nosso caso, temos:
2 r^2 - 2 raiz2 r + 1 = 0

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de r. Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
r = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Onde a = 2, b = -2 raiz2 e c = 1. Substituindo esses valores:
r = 2 raiz2 pm raiz( -2 raiz2)^2 - 4 cdot 2 cdot 12 cdot 2

Passo 4

Vamos simplificar o discriminante:
( -2 raiz2)^2 = 8 4 cdot 2 cdot 1 = 8
Portanto:
raiz8 - 8 = raiz0 = 0
Isso significa que temos uma raiz real e repetida:
r = 2 raiz24 = raiz22

Passo 5

Como a equação característica tem uma raiz real e repetida, a solução geral da equação diferencial é dada por:
y(x) = (C1 + C2 x) e^raiz22 x
Onde C1 e C2 são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = (C1 + C2 x) e^raiz22 x

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