Ache a solução geral de cada uma das equaçöes diferenciais seguintes.
.
Passo 1
Então, temos a equação diferencial
. Vamos resolver essa equação encontrando sua solução geral. Para isso, vamos usar o método das equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Precisaremos encontrar as raízes da equação característica associada para determinar a forma da solução.
Passo 2
Primeiro, escrevemos a equação característica da equação diferencial dada. Para uma equação da forma
, a equação característica é
. No nosso caso, temos:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
. Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
e
. Substituindo esses valores:
Passo 4
Vamos simplificar o discriminante:
Portanto:
Isso significa que temos uma raiz real e repetida:
Passo 5
Como a equação característica tem uma raiz real e repetida, a solução geral da equação diferencial é dada por:
Onde
e
são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: