Resolva as seguintes integrais:
integral0^2 integral1^3 x^2 y+2 x y^2 d x d y.

Passo 1

Resumindo o problema: precisamos calcular a integral dupla
integraly=0^2integralx=1^3l(x^2y + 2xy^2r),dx,dy
O conteúdo aqui é integração iterada (teorema de Fubini), então vamos integrar primeiro em x e depois em y.

Passo 2

Para a integral interna em x:
integral1^3l(x^2y + 2xy^2r),dx = yintegral1^3x^2,dx + 2y^2integral1^3x,dx
Calculando cada parte:
integral1^3x^2,dx = [x^33]1^3 = 27-13 = 263,
integral1^3x,dx = [x^22]1^3 = 9-12 = 4
Logo a integral interna vale
ycdot263 + 2y^2cdot4 = 26y3 + 8y^2

Passo 3

Agora integramos em y de 0 a 2:
integral0^2l(26y3 + 8y^2r),dy = 263integral0^2y,dy + 8integral0^2y^2,dy
Calculando:
integral0^2y,dy = [y^22]0^2 = 2,
integral0^2y^2,dy = [y^33]0^2 = 83
Assim:
263cdot2 + 8cdot83 = 523 + 643 = 1163

Resposta

1163

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