Determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação em torno do eixo x, da região R delimitada pelos gráficos das equações dadas:
8.11) y=1x, x=0, x=4, y=0, e y=4

Passo 1

Estamos lidando com o volume do sólido obtido ao rotacionar em torno do eixo x a região R limitada pelas curvas y=1/x, x=0, x=4, y=0 e y=4. O conteúdo é cálculo de volume por revolução, onde vamos usar o método dos discos/arroelas. Para montar as integrais, precisamos achar o ponto em que y=1/x intersecta y=4 e depois dividir a região em dois trechos de x.

Passo 2

Para achar a interseção entre y=1/x e y=4, resolvemos 1/x=4. Logo, x=1/4. O ponto de interseção é (1/4,4). A partir daí, para 0≤x≤1/4 a região vai de y=0 até y=4, e para 1/4≤x≤4 vai de y=0 até y=1/x.

Passo 3

No primeiro trecho (0≤x≤1/4), ao rotacionar a região em torno do eixo x temos discos de raio externo R(x)=4 e raio interno r(x)=0. O volume é
V1=piintegral0^1/4l(4^2-0^2r),dx=piintegral0^1/416,dx

Passo 4

No segundo trecho (1/4≤x≤4), temos discos de raio externo R(x)=1/x e raio interno r(x)=0. O volume é
V2=piintegral1/4^4l((1/x)^2-0^2r),dx=piintegral1/4^4x^-2,dx

Passo 5

Agora basta calcular cada integral. Para V1:
V1=16pil[xr]0^1/4=16picdottfrac14=4pi

Passo 6

Para V2:
V2=pil[-tfrac1xr]1/4^4=pil(-tfrac14-(-4)r)=pil(4-tfrac14r)=tfrac15pi4

Passo 7

Somando as duas partes, obtemos o volume total:
V=V1+V2=4pi+tfrac15pi4=tfrac16pi+15pi4=tfrac31pi4

Resposta

tfrac31pi4

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