Determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação em torno do eixo
, da região
delimitada pelos gráficos das equações dadas:
8.11)
, e
8.11)
Passo 1
Estamos lidando com o volume do sólido obtido ao rotacionar em torno do eixo x a região R limitada pelas curvas y=1/x, x=0, x=4, y=0 e y=4. O conteúdo é cálculo de volume por revolução, onde vamos usar o método dos discos/arroelas. Para montar as integrais, precisamos achar o ponto em que y=1/x intersecta y=4 e depois dividir a região em dois trechos de x.
Passo 2
Para achar a interseção entre y=1/x e y=4, resolvemos 1/x=4. Logo, x=1/4. O ponto de interseção é (1/4,4). A partir daí, para 0≤x≤1/4 a região vai de y=0 até y=4, e para 1/4≤x≤4 vai de y=0 até y=1/x.
Passo 3
No primeiro trecho (0≤x≤1/4), ao rotacionar a região em torno do eixo x temos discos de raio externo R(x)=4 e raio interno r(x)=0. O volume é
Passo 4
No segundo trecho (1/4≤x≤4), temos discos de raio externo R(x)=1/x e raio interno r(x)=0. O volume é
Passo 5
Agora basta calcular cada integral. Para V1:
Passo 6
Para V2:
Passo 7
Somando as duas partes, obtemos o volume total: