Determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação da região R delimitada pelo gráfico das equações dadas, em torno do eixo indicado.
10.8) y=cos x, y=-2, x=0, x=2 pi ao redor do eixo y=-2

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno de y = –2 a região R limitada por y = cos x, y = –2, x = 0 e x = 2π. O conteúdo aqui é volume de revolução pelo método dos discos (ou anéis), e vamos precisar usar a fórmula que envolve integrar π vezes a diferença dos quadrados dos raios.

Passo 2

Como o eixo de rotação é horizontal (y = –2), num corte em x fixo o raio externo R(x) vai da curva y = cos x até o eixo, e o raio interno r(x) vai da reta y = –2 até y = –2 (ou seja, zero). Logo:
R(x)=l(cos xr)-(-2)=cos x+2, r(x)=0

Passo 3

Pela fórmula do volume pelo método dos discos/aros temos
V=piintegral0^2pil[R(x)^2 - r(x)^2r],dx = piintegral0^2pi(cos x+2)^2,dx

Passo 4

Agora desenvolvemos a integral. Primeiro expandimos:
(cos x + 2)^2 = cos^2 x + 4cos x + 4

Passo 5

Usamos a identidade cos^2 x = tfrac1+cos2x2 e calculamos cada parte de 0 a 2π:
integral0^2picos^2 x,dx = integral0^2pi1+cos2x2,dx = pi,
integral0^2picos x,dx = 0, integral0^2pi4,dx = 8pi

Passo 6

Somando as partes dentro da integral:
integral0^2pi(cos x+2)^2,dx = pi + 0 + 8pi = 9pi

Passo 7

Multiplicando por π obtemos o volume:
V = pi cdot 9pi = 9pi^2

Resposta

9pi^2

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