Determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação da região
delimitada pelo gráfico das equações dadas, em torno do eixo indicado.
10.8)
ao redor do eixo
10.8)
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno de y = –2 a região R limitada por y = cos x, y = –2, x = 0 e x = 2π. O conteúdo aqui é volume de revolução pelo método dos discos (ou anéis), e vamos precisar usar a fórmula que envolve integrar π vezes a diferença dos quadrados dos raios.
Passo 2
Como o eixo de rotação é horizontal (y = –2), num corte em x fixo o raio externo R(x) vai da curva y = cos x até o eixo, e o raio interno r(x) vai da reta y = –2 até y = –2 (ou seja, zero). Logo:
Passo 3
Pela fórmula do volume pelo método dos discos/aros temos
Passo 4
Agora desenvolvemos a integral. Primeiro expandimos:
Passo 5
Usamos a identidade
e calculamos cada parte de 0 a 2π:
Passo 6
Somando as partes dentro da integral:
Passo 7
Multiplicando por π obtemos o volume: