Ache a solução geral de cada uma das equaçöes diferenciais seguintes.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para achar a solução geral da equação
. Isso está relacionado ao estudo de equações diferenciais lineares homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar entender como formar e resolver a equação característica associada.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os coeficientes da equação diferencial:
- Coeficiente de
é 4 - Coeficiente de
é -4 - Coeficiente de
é 3
A equação diferencial dada é da forma
, onde
,
e
.
Passo 3
Agora, vamos montar a equação característica substituindo
por
,
por
e
por 1. Isso fica assim:
Passo 4
Em seguida, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
. Para isso, usamos a fórmula de Bhaskara:
Substituindo os valores:
Passo 5
Vimos que o discriminante (
) é negativo (
), o que indica que as raízes são complexas conjugadas. Vamos expressar
como
:
Simplificando
Passo 6
Com as raízes na forma
, a solução geral da equação diferencial é:
Substituindo
Resposta
A solução geral da equação diferencial
é:
onde