Ache a solução geral de cada uma das equaçöes diferenciais seguintes.
4 y^prime prime-4 y^prime+3 y=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para achar a solução geral da equação 4 y'' - 4 y' + 3 y = 0. Isso está relacionado ao estudo de equações diferenciais lineares homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar entender como formar e resolver a equação característica associada.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os coeficientes da equação diferencial:
  • Coeficiente de y'' é 4
  • Coeficiente de y' é -4
  • Coeficiente de y é 3
A equação diferencial dada é da forma a y'' + b y' + c y = 0, onde a = 4, b = -4 e c = 3.

Passo 3

Agora, vamos montar a equação característica substituindo y'' por r^2, y' por r e y por 1. Isso fica assim:
4 r^2 - 4 r + 3 = 0

Passo 4

Em seguida, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de r. Para isso, usamos a fórmula de Bhaskara:
r = -b pm raizb^2 - 4 a c2 a
Substituindo os valores:
r = -(-4) pm raiz(-4)^2 - 4 cdot 4 cdot 32 cdot 4
r = 4 pm raiz16 - 488
r = 4 pm raiz-328

Passo 5

Vimos que o discriminante ( De) é negativo ( De), o que indica que as raízes são complexas conjugadas. Vamos expressar raiz-32 como i raiz32:
r = 4 pm i raiz328
Simplificando raiz32 = 4 raiz2:
r = 4 pm i cdot 4 raiz28
r = 48 pm 4 raiz28 i
r = 12 pm raiz22 i

Passo 6

Com as raízes na forma r = alpha pm beta i, a solução geral da equação diferencial é:
y(t) = e^alpha t ( C1 cos(beta t) + C2 sin(beta t) )
Substituindo alpha = 12 e beta = raiz22:
y(t) = e^12 t ( C1 cos(raiz22 t) + C2 sin(raiz22 t) )

Resposta

A solução geral da equação diferencial 4 y'' - 4 y' + 3 y = 0 é:
y(t) = e^12 t ( C1 cos(raiz22 t) + C2 sin(raiz22 t) )
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

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