Ache a solução geral de cada uma das equaçöes diferenciais seguintes.
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Passo 1
Estamos resolvendo uma equação diferencial de primeira ordem, linear e homogênea: \
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3 y’ + 2 y = 0. O conteúdo aqui é ODE linear com coeficientes constantes e vamos usar separação de variáveis ou forma padrão para resolver.
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3 y’ + 2 y = 0. O conteúdo aqui é ODE linear com coeficientes constantes e vamos usar separação de variáveis ou forma padrão para resolver.
Passo 2
Primeiro colocamos a equação na forma padrão, isolando y’: \
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3 y’ + 2 y = 0 \
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divide por 3: \
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y’ + \frac{2}{3} y = 0. Esta é a forma com
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3 y’ + 2 y = 0 \
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divide por 3: \
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y’ + \frac{2}{3} y = 0. Esta é a forma
Passo 3
Agora aplicamos separação de variáveis. Podemos reescrever
e obter: \
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\frac{dy}{dx} = -\frac{2}{3} y \
\
Separando variáveis: \
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\frac{1}{y} , dy = -\frac{2}{3} , dx.
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\frac{dy}{dx} = -\frac{2}{3} y \
\
Separando variáveis: \
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\frac{1}{y} , dy = -\frac{2}{3} , dx.
Passo 4
Integramos ambos os lados: \
\
\int \frac{1}{y} , dy = \int -\frac{2}{3} , dx \
\
Isso dá: \
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\ln|y| = -\frac{2}{3} x + C_1, onde é constante de integração.\
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Aplicando exponencial em ambos os lados: \
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|y| = e^{C_1} e^{-\tfrac{2}{3}x}. Definindo , temos a família geral de soluções.
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\int \frac{1}{y} , dy = \int -\frac{2}{3} , dx \
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Isso dá: \
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\ln|y| = -\frac{2}{3} x + C_1, onde
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Aplicando exponencial em ambos os lados: \
\
|y| = e^{C_1} e^{-\tfrac{2}{3}x}. Definindo
Resposta
A solução geral é: \
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y(x) = C e^{-\tfrac{2}{3}x}, onde é constante arbitrária.
\
y(x) = C e^{-\tfrac{2}{3}x}, onde