Ache a solução geral de cada uma das equaçöes diferenciais seguintes.
3 y^prime+2 y=0.

Passo 1

Estamos resolvendo uma equação diferencial de primeira ordem, linear e homogênea: \
\
3 y’ + 2 y = 0. O conteúdo aqui é ODE linear com coeficientes constantes e vamos usar separação de variáveis ou forma padrão para resolver.

Passo 2

Primeiro colocamos a equação na forma padrão, isolando y’: \
\
3 y’ + 2 y = 0 \
\
divide por 3: \
\
y’ + \frac{2}{3} y = 0. Esta é a forma y' + p(x)y = 0 com p(x)=2/3.

Passo 3

Agora aplicamos separação de variáveis. Podemos reescrever y' = dydx e obter: \
\
\frac{dy}{dx} = -\frac{2}{3} y \
\
Separando variáveis: \
\
\frac{1}{y} , dy = -\frac{2}{3} , dx.

Passo 4

Integramos ambos os lados: \
\
\int \frac{1}{y} , dy = \int -\frac{2}{3} , dx \
\
Isso dá: \
\
\ln|y| = -\frac{2}{3} x + C_1, onde C1 é constante de integração.\
\
Aplicando exponencial em ambos os lados: \
\
|y| = e^{C_1} e^{-\tfrac{2}{3}x}. Definindo C = pm e^C1, temos a família geral de soluções.

Resposta

A solução geral é: \
\
y(x) = C e^{-\tfrac{2}{3}x}, onde C é constante arbitrária.

Exercícios relacionados