Determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação da região R delimitada pelo gráfico das equações dadas, em torno do eixo indicado.
10.7) y=1-x^2, x=-2, x=2, y=2, ao redor do eixo y=2

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar a região R delimitada por y=1-x^2, x=-2, x=2 e y=2 em torno da reta y=2. O conteúdo aqui é volume de revolução usando o método dos discos (ou arruelas) e vamos precisar da fórmula elementar dV=pil[R(x)^2 - r(x)^2r],dx.

Passo 2

Para facilitar, esboce a região e imagine um elemento vertical de largura dx em x fixo, que se estende de y=1-x^2 até y=2. Ao girar em torno de y=2, esse elemento gera um disco (sem furo interno) cuja espessura é dx.

Passo 3

Precisamos identificar os raios do disco: o raio externo R(x) mede a distância vertical entre o eixo y=2 e a curva inferior y=1-x^2. Logo,
R(x)=2 - (1 - x^2)=1+x^2,
e o raio interno r(x) é a distância do eixo até y=2, ou seja
r(x)=2-2=0

Passo 4

Aplicando a fórmula do volume por discos,
V=integralx=-2^2pil[R(x)^2 - r(x)^2r],dx = piintegral-2^2(1+x^2)^2,dx
Como o integrando é função par, usamos simetria:
V=2piintegral0^2(1 + 2x^2 + x^4),dx

Passo 5

Calculemos a integral:
integral0^2(1 + 2x^2 + x^4),dx = l[x + tfrac2x^33 + tfracx^55r]0^2 = 2 + tfrac163 + tfrac325 = tfrac20615
Substituindo em V=2pitimestfrac20615, obtemos o volume desejado.

Resposta

412pi15.

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