Determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação da região
delimitada pelo gráfico das equações dadas, em torno do eixo indicado.
10.7)
ao redor do eixo
10.7)
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar a região R delimitada por
,
,
e
em torno da reta
. O conteúdo aqui é volume de revolução usando o método dos discos (ou arruelas) e vamos precisar da fórmula elementar
.
Passo 2
Para facilitar, esboce a região e imagine um elemento vertical de largura
em
fixo, que se estende de
até
. Ao girar em torno de
, esse elemento gera um disco (sem furo interno) cuja espessura é
.
Passo 3
Precisamos identificar os raios do disco: o raio externo
mede a distância vertical entre o eixo
e a curva inferior
. Logo,
e o raio interno
é a distância do eixo até
, ou seja
Passo 4
Aplicando a fórmula do volume por discos,
Como o integrando é função par, usamos simetria:
Passo 5
Calculemos a integral:
Substituindo em
, obtemos o volume desejado.