Determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação da região
delimitada pelo gráfico das equações dadas, em torno do eixo indicado.
10.2)
ao redor do eixo
10.2)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para calcular o volume de um sólido que resulta da rotação da região
delimitada pelas curvas
,
e
, em torno do eixo
. Vamos usar conceitos de Cálculo, especificamente o método dos discos/aneles para encontrar volumes de sólidos de revolução. Precisaremos entender como definir as funções envolvidas e aplicar a fórmula correta para calcular o volume.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região
. A equação
representa uma parábola que abre para a direita. A linha
é o eixo
, e
é uma linha horizontal que corta a parábola. Nosso objetivo é girar essa região em torno do eixo
.
Passo 3
Vamos usar o método dos anéis (ou discos) para calcular o volume. A ideia é dividir a região em finas fatias horizontais (em relação ao eixo
) e calcular o volume de cada anel resultante da rotação.
A fórmula para o volume usando o método dos anéis é:
Onde:
-
é o raio externo (distância do eixo de rotação ao ponto mais distante da região) -
é o raio interno (distância do eixo de rotação ao ponto mais próximo da região)
Passo 4
Vamos identificar
e
:
-
Raio externo
: A distância do eixo de rotação até a parte mais distante da região, que ocorre no eixo (linhas laterais). A distância é . -
Raio interno
: A distância do eixo de rotação até a curva . Para essa curva, , mas como estamos girando em torno do eixo , precisamos considerar a distância vertical, que também será .
Porém, na verdade, como
é o limite esquerdo e a rotação é ao redor de
, o raio interno será zero, já que não há outro limite interno além de
.
Portanto, a fórmula simplifica para:
Passo 5
Vamos calcular a integral:
Resposta
O volume do sólido de revolução é
unidades cúbicas.