Determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação da região R delimitada pelo gráfico das equações dadas, em torno do eixo indicado.
10.2) y^2=2 x, x=0, y=2, ao redor do eixo y=3

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para calcular o volume de um sólido que resulta da rotação da região delimitada pelas curvas , e , em torno do eixo . Vamos usar conceitos de Cálculo, especificamente o método dos discos/aneles para encontrar volumes de sólidos de revolução. Precisaremos entender como definir as funções envolvidas e aplicar a fórmula correta para calcular o volume.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região . A equação representa uma parábola que abre para a direita. A linha é o eixo , e é uma linha horizontal que corta a parábola. Nosso objetivo é girar essa região em torno do eixo .

Passo 3

Vamos usar o método dos anéis (ou discos) para calcular o volume. A ideia é dividir a região em finas fatias horizontais (em relação ao eixo V = pi integrala^b [ R(y)^2 - r(y)^2 ] dy ) e calcular o volume de cada anel resultante da rotação.
A fórmula para o volume usando o método dos anéis é:
Onde:
  • é o raio externo (distância do eixo de rotação ao ponto mais distante da região)
  • é o raio interno (distância do eixo de rotação ao ponto mais próximo da região)

Passo 4

Vamos identificar V = pi integral0^2 ( (3 - y)^2 - 0 ) dy = pi integral0^2 (3 - y)^2 dy e :
  • Raio externo : A distância do eixo de rotação até a parte mais distante da região, que ocorre no eixo (linhas laterais). A distância é .
  • Raio interno : A distância do eixo de rotação até a curva . Para essa curva, , mas como estamos girando em torno do eixo , precisamos considerar a distância vertical, que também será .
Porém, na verdade, como é o limite esquerdo e a rotação é ao redor de , o raio interno será zero, já que não há outro limite interno além de .
Portanto, a fórmula simplifica para:

Passo 5

Vamos calcular a integral:
V &= pi integral0^2 (3 - y)^2 dy &= pi integral0^2 (9 - 6y + y^2) dy &= pi [ 9y - 3y^2 + y^33 ]0^2 &= pi [ 9(2) - 3(2)^2 + (2)^33 - (0) ] &= pi [ 18 - 12 + 83 ] &= pi [ 6 + 83 ] &= pi ( 183 + 83 ) &= pi ( 263 ) &= 263 pi

Resposta

O volume do sólido de revolução é unidades cúbicas.

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