(a) Esboce a curva utilizando as equações paramétricas para traçar os pontos. Indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada conforme t aumenta.
(b) Elimine o parâmetro para encontrar a equação cartesiana da curva.
x=1-t^21+t^2, y=2 t1+t^2

Passo 1

O enunciado pede pra gente desenhar a curva dada pelas equações paramétricas
x=1-t^21+t^2,;y=2t1+t^2, indicar a direção conforme t cresce, e em seguida eliminar o parâmetro pra achar a forma cartesiana. O conteúdo é curva paramétrica e eliminação de parâmetro.

Passo 2

Pra entender que curva é essa, a gente calcula pontos-chave. Montamos uma tabelinha:
  • tto -infty:;(x,y)to(-1,0) (por baixo)
  • t=-1:;(x,y)=(0,-1)
  • t=0:;(x,y)=(1,0)
  • t=1:;(x,y)=(0,1)
  • tto+infty:;(x,y)to(-1,0) (por cima)
    Esses pontos estão todos na circunferência de raio 1 e centro na origem. Entre eles, ligue suavemente: do ponto (-1,0) (vindo ligeiramente por baixo) até (1,0) passa pelo (0,-1), depois de (1,0) até (-1,0) passa pelo (0,1).

Passo 3

Para marcar a direção, note que quando t cresce de -infty a 0 você percorre o arco inferior de (-1,0) até (1,0), e de 0 a +infty você vai do (1,0) até (-1,0) pelo arco superior. Em cada parte desenhe setas indicando este sentido.

Passo 4

Agora vamos eliminar t. Da expressão de x:
x(1+t^2)=1-t^2 implies x + x t^2 = 1 - t^2 implies t^2(x+1)=1-x implies t^2=1-x1+x
Também de y:
y=2t1+t^2 implies y^2=4t^2(1+t^2)^2
Substituindo t^2 e 1+t^2=21+x em y^2 resulta
y^2=4,(1-x)/(1+x)(2/(1+x))^2=1-x^2
Dessa forma chegamos à equação cartesiana da curva:

Resposta

x^2 + y^2 = 1

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