Determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação em torno do eixo x, da região R delimitada pelos gráficos das equações dadas:
8.10) x=y^2+1, x=0, y=-2, e y=0

Passo 1

A região R está limitada pelas curvas x=y^2+1, x=0, y=-2 e y=0, e vamos girá-la em torno do eixo x. O conteúdo é volume de sólidos de revolução, e usaremos o método das cascas cilíndricas.

Passo 2

No método das cascas, tomamos uma faixa horizontal em y, de espessura dy. A casca gerada tem raio igual à distância até o eixo x, ou seja |y|=-y (já que y<=0), e altura dada pela diferença das abscissas direita e esquerda:
a

Passo 3

O volume de cada casca é
dV=2pitimes(raio)times(a

Passo 4

Agora integramos de y=-2 até y=0:
V=2piintegral-2^0(-y)(y^2+1),dy=2piintegral-2^0(-y^3-y),dy

Passo 5

Calculando a integral:
integral(-y^3-y),dy=-y^44-y^22,

Passo 6

então
V=2pil[ -y^44-y^22r]-2^0=2pil(0-(-6)r)=12pi

Resposta

12pi

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