Ache a solução geral de cada uma das seguintes equações diferenciais.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede a solução geral. As informações relevantes são:
- A equação envolve os diferenciais
e . - Não foi dado explicitamente qual variável é independente; podemos escolher tratar
como função de (ou vice-versa).
O objetivo é encontrar a família de soluções gerais que satisfazem essa relação.
Passo 2
Vou reescrever a equação na forma de derivada para trabalhar de modo padrão. Dividindo por
(assumindo
como variável independente) obtemos
Aqui estou definindo
. Isso transforma o problema em uma equação diferencial ordinária de primeira ordem para
em função de
.
Passo 3
Reconhecer o tipo de equação e a técnica apropriada. A equação escrita
está na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem
onde, no nosso caso,
e
.
A ideia do método do fator integrante é multiplicar a equação por uma função
tal que o lado esquerdo se torne a derivada do produto
. O fator integrante é dado por
Explicando isso: se multiplicarmos por
devemos ter
e isso é verdade quando
, o que leva à definição acima.
Passo 4
Calcular o fator integrante e aplicar. Como
,
Multiplicando a equação por
obtemos
Pelo motivo explicado no passo anterior, o lado esquerdo é a derivada do produto:
Passo 5
Integrar em relação a
. Integrando ambos os lados temos
A integral do lado esquerdo é simplesmente
. A integral do lado direito é
onde
é a constante arbitrária de integração. Assim obtemos a relação implícita
Passo 6
Interpretar e isolar
. A equação obtida no passo anterior descreve a família de curvas solução. Podemos isolar
dividindo por
; o resultado final, escrito de forma explícita, é a solução geral da equação diferencial.