Ache a solução geral de cada uma das seguintes equações diferenciais.
d x+\left(x-e^{y}\right) d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
d x+\left(x-e^{y}\right) d y=0
e pede a solução geral. As informações relevantes são:
  • A equação envolve os diferenciais d x e d y.
  • Não foi dado explicitamente qual variável é independente; podemos escolher tratar x como função de y (ou vice-versa).
    O objetivo é encontrar a família de soluções gerais que satisfazem essa relação.

Passo 2

Vou reescrever a equação na forma de derivada para trabalhar de modo padrão. Dividindo por d y (assumindo y como variável independente) obtemos
\frac{d x}{d y}+x=e^{y}.
Aqui estou definindo x=x(y). Isso transforma o problema em uma equação diferencial ordinária de primeira ordem para x em função de y.

Passo 3

Reconhecer o tipo de equação e a técnica apropriada. A equação escrita
\frac{d x}{d y}+x=e^{y}
está na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem
\frac{d x}{d y}+P(y)\,x=Q(y),
onde, no nosso caso, P(y)=1 e Q(y)=e^{y}.
A ideia do método do fator integrante é multiplicar a equação por uma função \mu(y) tal que o lado esquerdo se torne a derivada do produto \mu(y)x. O fator integrante é dado por
\mu(y)=\exp\!\left(\int P(y)\,dy\right).
Explicando isso: se multiplicarmos por \mu devemos ter
\mu\frac{d x}{d y}+\mu P x = \frac{d}{d y}\big(\mu x\big),
e isso é verdade quando \mu'\! = \mu P, o que leva à definição acima.

Passo 4

Calcular o fator integrante e aplicar. Como P(y)=1,
\mu(y)=\exp\!\left(\int 1\,dy\right)=\exp(y)=e^{y}.
Multiplicando a equação por e^{y} obtemos
e^{y}\frac{d x}{d y}+e^{y}x=e^{y}\cdot e^{y}=e^{2y}.
Pelo motivo explicado no passo anterior, o lado esquerdo é a derivada do produto:
\frac{d}{d y}\big(e^{y}x\big)=e^{2y}.

Passo 5

Integrar em relação a y. Integrando ambos os lados temos
\int \frac{d}{d y}\big(e^{y}x\big)\,dy=\int e^{2y}\,dy.
A integral do lado esquerdo é simplesmente e^{y}x. A integral do lado direito é
\int e^{2y}\,dy=\frac{1}{2}e^{2y}+C,
onde C é a constante arbitrária de integração. Assim obtemos a relação implícita
e^{y}x=\frac{1}{2}e^{2y}+C.

Passo 6

Interpretar e isolar x. A equação obtida no passo anterior descreve a família de curvas solução. Podemos isolar x dividindo por e^{y}; o resultado final, escrito de forma explícita, é a solução geral da equação diferencial.

Resposta

x=\dfrac{1}{2}e^{y}+C\,e^{-y}

Exercícios relacionados