Ache a solução geral de cada uma das seguintes equações diferenciais.
\left(1-x^{2}\right) d y-\left(x y+2 x \sqrt{\left(1-x^{2}\right)}\right) d x=0

Passo 1

O enunciado pede: “Ache a solução geral da seguinte equação diferencial”:
\left(1-x^{2}\right) dy -\left(x y+2 x \sqrt{1-x^{2}}\right) dx = 0.
Informações dadas:
  • A equação diferencial está escrita em forma diferencial com dx e dy.
  • Deve-se encontrar a solução geral y(x) (constante de integração C incluída).
  • Não há imagem ou dados adicionais.

Passo 2

Primeiro passo prático: colocar a equação na forma explícita \dfrac{dy}{dx} + P(x)\,y = Q(x) (a forma padrão de uma equação linear de primeira ordem).
Dividindo ambos os lados por dx e por 1-x^{2} (assumindo 1-x^{2}\neq0 no intervalo de interesse), obtemos:
\frac{dy}{dx} = \frac{x y + 2 x \sqrt{1-x^{2}}}{1-x^{2}}.
Reescrevendo em forma padrão:
\frac{dy}{dx} - \frac{x}{1-x^{2}}\,y = \frac{2x\sqrt{1-x^{2}}}{1-x^{2}}.

Passo 3

Identificamos as funções P(x) e Q(x) da forma padrão \dfrac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x):
P(x) = -\frac{x}{1-x^{2}},\qquad Q(x)=\frac{2x\sqrt{1-x^{2}}}{1-x^{2}}.
Antes de prosseguir, simplificamos Q(x). Note que
\frac{\sqrt{1-x^{2}}}{1-x^{2}} = \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}},
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Q(x)=\frac{2x}{\sqrt{1-x^{2}}}.

Passo 4

Agora usamos o método do fator integrante. Lembrete do método (aula rápida):
  • Para \dfrac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x), o fator integrante é
\mu(x)=\exp\!\Big(\int P(x)\,dx\Big).
  • Multiplicando a equação inteira por \mu(x) transforma o lado esquerdo em \dfrac{d}{dx}\big(\mu(x)y\big), facilitando a integração.
Aqui P(x)=-\dfrac{x}{1-x^{2}}. Vamos calcular \mu(x).

Passo 5

Calcular \displaystyle \int P(x)\,dx = \int -\frac{x}{1-x^{2}}\,dx.
Fazemos substituição para integrar:
  • Seja u=1-x^{2}. Então du = -2x\,dx, ou x\,dx = -\dfrac{1}{2}du.
    Assim
\int -\frac{x}{1-x^{2}}\,dx = -\int \frac{x}{u}\,dx = -\int \frac{-\tfrac{1}{2}du}{u} = \frac{1}{2}\int \frac{du}{u} = \frac{1}{2}\ln|u| + C.
Voltando a x:
\int P(x)\,dx = \frac{1}{2}\ln|1-x^{2}|.
Portanto o fator integrante é
\mu(x)=\exp\!\Big(\frac{1}{2}\ln|1-x^{2}|\Big) = |1-x^{2}|^{1/2}.
Para conveniência e em intervalos onde 1-x^{2}>0 (por exemplo |x|<1) podemos tomar
\mu(x)=\sqrt{1-x^{2}}.

Passo 6

Multiplicamos a equação original, na forma padrão, por \mu(x)=\sqrt{1-x^{2}}. A equação
\frac{dy}{dx} - \frac{x}{1-x^{2}}\,y = \frac{2x}{\sqrt{1-x^{2}}}
multiplicada por \sqrt{1-x^{2}} fica:
\sqrt{1-x^{2}}\frac{dy}{dx} - \frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}\,y = 2x.
Verificamos que o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto \mu(x)y. De fato, como
\frac{d}{dx}\big(\sqrt{1-x^{2}}\big) = -\frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}},
temos
\frac{d}{dx}\big(\sqrt{1-x^{2}}\,y\big) = \sqrt{1-x^{2}}\frac{dy}{dx} + \frac{d}{dx}\big(\sqrt{1-x^{2}}\big)\,y = \sqrt{1-x^{2}}\frac{dy}{dx} - \frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}\,y.
Logo a equação torna-se
\frac{d}{dx}\big(\sqrt{1-x^{2}}\,y\big) = 2x.

Passo 7

Integramos ambos os lados em relação a x:
\int \frac{d}{dx}\big(\sqrt{1-x^{2}}\,y\big)\,dx = \int 2x\,dx.
Isso dá
\sqrt{1-x^{2}}\,y = x^{2} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 8

Isolamos y. Assumindo \sqrt{1-x^{2}}\neq0,
y(x) = \frac{x^{2}+C}{\sqrt{1-x^{2}}}.
Essa é a solução geral. Observações sobre domínio: a solução está escrita para intervalos onde \sqrt{1-x^{2}} tem sinal fixo; tipicamente toma-se |x|<1 para usar a raiz positiva. Em intervalos onde 1-x^{2}<0 a raiz é imaginária e a expressão exige interpretação complexa, portanto a solução real natural é para |x|<1.

Passo 9

Verificação rápida (checando que faz sentido): derivando \sqrt{1-x^{2}}\,y = x^{2}+C obtemos \dfrac{d}{dx}(\sqrt{1-x^{2}}\,y)=2x, que é exatamente a equação multiplicada pelo fator integrante — portanto a solução é consistente.

Resposta

y(x)=\frac{x^{2}+C}{\sqrt{1-x^{2}}}

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