Ache a solução geral de cada uma das seguintes equações diferenciais.
Passo 1
O enunciado pede: “Ache a solução geral da seguinte equação diferencial”:
Informações dadas:
- A equação diferencial está escrita em forma diferencial com
e . - Deve-se encontrar a solução geral
(constante de integração incluída). - Não há imagem ou dados adicionais.
Passo 2
Primeiro passo prático: colocar a equação na forma explícita
(a forma padrão de uma equação linear de primeira ordem).
Dividindo ambos os lados por
e por
(assumindo
no intervalo de interesse), obtemos:
Reescrevendo em forma padrão:
Passo 3
Identificamos as funções
e
da forma padrão
:
Antes de prosseguir, simplificamos
. Note que
logo
Passo 4
Agora usamos o método do fator integrante. Lembrete do método (aula rápida):
- Para
, o fator integrante é
- Multiplicando a equação inteira por
transforma o lado esquerdo em , facilitando a integração.
Aqui
. Vamos calcular
.
Passo 5
Calcular
.
Fazemos substituição para integrar:
- Seja
. Então , ou .
Assim
Voltando a
:
Portanto o fator integrante é
Para conveniência e em intervalos onde
(por exemplo
) podemos tomar
Passo 6
Multiplicamos a equação original, na forma padrão, por
. A equação
multiplicada por
fica:
Verificamos que o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto
. De fato, como
temos
Logo a equação torna-se
Passo 7
Integramos ambos os lados em relação a
:
Isso dá
onde
é a constante de integração.
Passo 8
Isolamos
. Assumindo
,
Essa é a solução geral. Observações sobre domínio: a solução está escrita para intervalos onde
tem sinal fixo; tipicamente toma-se
para usar a raiz positiva. Em intervalos onde
a raiz é imaginária e a expressão exige interpretação complexa, portanto a solução real natural é para
.
Passo 9
Verificação rápida (checando que faz sentido): derivando
obtemos
, que é exatamente a equação multiplicada pelo fator integrante — portanto a solução é consistente.