Ache a solução geral de cada uma das seguintes equações diferenciais.
d y+\left(2 x y-x e^{-x^{2}}\right) d x=0

Passo 1

O enunciado pede: achar a solução geral da equação diferencial dada. A equação fornecida é
d y+\left(2 x y-x e^{-x^{2}}\right) d x=0.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A equação está escrita em forma diferencial com dy e dx.
  • Podemos transformar para a forma habitual com derivada em relação a x.
  • O objetivo é encontrar a família de soluções y(x) que satisfaz essa equação (solução geral, com constante arbitrária).

Passo 2

Reescrevendo a equação na forma \dfrac{dy}{dx}= \cdots. Dividindo por dx obtemos
\frac{dy}{dx} + 2x\,y - x e^{-x^{2}} = 0.
Isolando \dfrac{dy}{dx},
\frac{dy}{dx} + 2x\,y = x e^{-x^{2}}.
Agora está clara a estrutura: é uma equação diferencial de primeira ordem linear na incógnita y. A forma padrão de uma equação linear de primeira ordem é
\frac{dy}{dx} + P(x)\,y = Q(x),
onde P(x) e Q(x) são funções conhecidas de x. Aqui temos
P(x)=2x,\qquad Q(x)=x e^{-x^{2}}.

Passo 3

Vou explicar o método do fator integrante (integrating factor) — é o jeito padrão e direto para resolver equações lineares de primeira ordem.
Ideia: multiplicar a equação por uma função \mu(x) tal que o lado esquerdo vire a derivada do produto \mu(x)y. Ou seja, queremos \mu(x) tal que
\mu(x)\frac{dy}{dx} + \mu(x)P(x)y = \frac{d}{dx}\big(\mu(x)y\big).
Pelo produto, \dfrac{d}{dx}\big(\mu y\big)=\mu\,\dfrac{dy}{dx} + \mu' y. Para que isso seja igual a \mu\,\dfrac{dy}{dx} + \mu P y precisamos que \mu' = \mu P. Isso é uma equação diferencial simples para \mu:
\frac{d\mu}{dx} = P(x)\,\mu(x).
Resolvendo \dfrac{d\mu}{dx} = P(x)\mu obtemos
\mu(x)=\exp\!\left(\int P(x)\,dx\right).
Essa \mu é chamada fator integrante.

Passo 4

Aplicando ao nosso caso: P(x)=2x. Então
\mu(x)=\exp\!\left(\int 2x\,dx\right)=\exp\!\left(x^{2}\right)=e^{x^{2}}.
Multiplicando a equação padrão por \mu(x)=e^{x^{2}}, obtemos
e^{x^{2}}\frac{dy}{dx} + 2x e^{x^{2}} y = e^{x^{2}}\cdot x e^{-x^{2}}.
No lado direito e^{x^{2}}\cdot x e^{-x^{2}}=x. E o lado esquerdo, pela construção do fator integrante, é exatamente a derivada do produto e^{x^{2}}y. Logo
\frac{d}{dx}\big(e^{x^{2}} y\big) = x.

Passo 5

Agora integramos ambos os lados em relação a x:
\int \frac{d}{dx}\big(e^{x^{2}} y\big)\,dx = \int x\,dx.
A integral do lado esquerdo é simplesmente e^{x^{2}} y. A integral do lado direito é \dfrac{x^{2}}{2} mais uma constante de integração C. Assim
e^{x^{2}} y = \frac{x^{2}}{2} + C,
onde C é uma constante arbitrária.

Passo 6

Isolando y, obtemos a solução geral:
y(x) = e^{-x^{2}}\left(\frac{x^{2}}{2} + C\right).
Podemos também escrever de forma equivalente
y(x) = \frac{x^{2}}{2}\,e^{-x^{2}} + C e^{-x^{2}}.

Passo 7

Verificação rápida (útil para a prova): ao substituir y(x)=e^{-x^{2}}(\tfrac{x^{2}}{2}+C) na equação original, e calcular \dfrac{dy}{dx} por regra do produto, obtém-se exatamente \dfrac{dy}{dx} + 2x y = x e^{-x^{2}}, portanto a solução encontrada satisfaz a equação para todo x.

Resposta

y(x)=e^{-x^{2}}\left(\frac{x^{2}}{2}+C\right)

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