Ache a solução geral de cada uma das seguintes equações diferenciais.
Passo 1
O enunciado pede: achar a solução geral da equação diferencial dada. A equação fornecida é
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A equação está escrita em forma diferencial com
e . - Podemos transformar para a forma habitual com derivada em relação a
. - O objetivo é encontrar a família de soluções
que satisfaz essa equação (solução geral, com constante arbitrária).
Passo 2
Reescrevendo a equação na forma
. Dividindo por
obtemos
Isolando
,
Agora está clara a estrutura: é uma equação diferencial de primeira ordem linear na incógnita
. A forma padrão de uma equação linear de primeira ordem é
onde
e
são funções conhecidas de
. Aqui temos
Passo 3
Vou explicar o método do fator integrante (integrating factor) — é o jeito padrão e direto para resolver equações lineares de primeira ordem.
Ideia: multiplicar a equação por uma função
tal que o lado esquerdo vire a derivada do produto
. Ou seja, queremos
tal que
Pelo produto,
. Para que isso seja igual a
precisamos que
. Isso é uma equação diferencial simples para
:
Resolvendo
obtemos
Essa
é chamada fator integrante.
Passo 4
Aplicando ao nosso caso:
. Então
Multiplicando a equação padrão por
, obtemos
No lado direito
. E o lado esquerdo, pela construção do fator integrante, é exatamente a derivada do produto
. Logo
Passo 5
Agora integramos ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo é simplesmente
. A integral do lado direito é
mais uma constante de integração
. Assim
onde
é uma constante arbitrária.
Passo 6
Isolando
, obtemos a solução geral:
Podemos também escrever de forma equivalente
Passo 7
Verificação rápida (útil para a prova): ao substituir
na equação original, e calcular
por regra do produto, obtém-se exatamente
, portanto a solução encontrada satisfaz a equação para todo
.