Ache a solução geral de cada uma das seguintes equações diferenciais.
y^{\prime} \sqrt{\left(x^{2}+1\right)}+x y=x

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial a seguir e pede a solução geral:
y' \sqrt{\left(x^{2}+1\right)}+x y=x.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A incógnita é a função y(x).
  • A equação envolve y', a derivada de y em relação a x.
  • É pedido encontrar a solução geral y(x) contendo a constante arbitrária da integração.

Passo 2

Primeiro vamos escrever a equação numa forma mais padrão, isolando y'. Dividindo ambos os lados por \sqrt{x^{2}+1} (que é sempre positiva, logo não há problema em dividir):
y' + \frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}\,y = \frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}.
Aqui é útil reconhecer que essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem no formato
y' + p(x)\,y = q(x),
com
p(x)=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}},\qquad q(x)=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}.

Passo 3

Relembrando o método (mini-aula): para uma equação linear de primeira ordem y' + p(x)y = q(x) usa-se o fator integrante \mu(x) definido por
\mu(x)=\exp\!\left(\int p(x)\,dx\right).
Multiplicando a equação por \mu(x) a esquerda se torna a derivada do produto \big(\mu(x)y\big)', permitindo integrar facilmente.

Passo 4

Calcular o fator integrante \mu(x). Temos
\int p(x)\,dx = \int \frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}\,dx.
Reconhece-se que a derivada de \sqrt{x^{2}+1} é \dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}. Portanto
\int \frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}\,dx = \sqrt{x^{2}+1} + C,
e podemos escolher
\mu(x)=\exp\!\big(\sqrt{x^{2}+1}\,\big).

Passo 5

Multiplicamos a equação linear por \mu(x):
\exp\!\big(\sqrt{x^{2}+1}\,\big)\,y' + \exp\!\big(\sqrt{x^{2}+1}\,\big)\,\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}\,y = \exp\!\big(\sqrt{x^{2}+1}\,\big)\,\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}.
Pela construção do fator integrante, a esquerda é a derivada do produto \big(\mu(x)y\big)'. Assim:
\bigg(\exp\!\big(\sqrt{x^{2}+1}\,\big)\,y\bigg)' = \exp\!\big(\sqrt{x^{2}+1}\,\big)\,\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}.

Passo 6

Integrar ambos os lados em relação a x:
\exp\!\big(\sqrt{x^{2}+1}\,\big)\,y = \int \exp\!\big(\sqrt{x^{2}+1}\,\big)\,\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}\,dx + C.
Fazemos a substituição conveniente para calcular a integral: defina
t=\sqrt{x^{2}+1}\quad\Rightarrow\quad dt=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}\,dx.
Com isso a integral simplifica muito:
\int \exp\!\big(\sqrt{x^{2}+1}\,\big)\,\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}\,dx = \int e^{t}\,dt = e^{t} + C = \exp\!\big(\sqrt{x^{2}+1}\,\big) + C.
Portanto obtemos
\exp\!\big(\sqrt{x^{2}+1}\,\big)\,y = \exp\!\big(\sqrt{x^{2}+1}\,\big) + C,
onde C é uma constante arbitrária (pode absorver constantes de integração anteriores).

Passo 7

Isolando y:
y = 1 + C\,\exp\!\big(-\sqrt{x^{2}+1}\,\big).
Isso dá a família de soluções gerais, com C\in\mathbb{R}.

Passo 8

Verificação rápida (mini-checagem): seja y(x)=1 + C e^{-\sqrt{x^{2}+1}}. Calcule y':
y' = C\cdot\big(-e^{-\sqrt{x^{2}+1}}\big)\cdot\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}} = -C\,e^{-\sqrt{x^{2}+1}}\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}.
Multiplicando por \sqrt{x^{2}+1} e somando x y:
y'\sqrt{x^{2}+1}+x y = -C\,e^{-\sqrt{x^{2}+1}}x + x\big(1 + C e^{-\sqrt{x^{2}+1}}\big) = x,
confirmando que a solução encontrada satisfaz a equação original.

Resposta

y(x)=1 + C\,\exp\!\big(-\sqrt{x^{2}+1}\,\big), com C constante real.

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