Ache a solução geral de cada uma das seguintes equações diferenciais.
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial a seguir e pede a solução geral:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A incógnita é a função
. - A equação envolve
, a derivada de em relação a . - É pedido encontrar a solução geral
contendo a constante arbitrária da integração.
Passo 2
Primeiro vamos escrever a equação numa forma mais padrão, isolando
. Dividindo ambos os lados por
(que é sempre positiva, logo não há problema em dividir):
Aqui é útil reconhecer que essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem no formato
com
Passo 3
Relembrando o método (mini-aula): para uma equação linear de primeira ordem
usa-se o fator integrante
definido por
Multiplicando a equação por
a esquerda se torna a derivada do produto
, permitindo integrar facilmente.
Passo 4
Calcular o fator integrante
. Temos
Reconhece-se que a derivada de
é
. Portanto
e podemos escolher
Passo 5
Multiplicamos a equação linear por
:
Pela construção do fator integrante, a esquerda é a derivada do produto
. Assim:
Passo 6
Integrar ambos os lados em relação a
:
Fazemos a substituição conveniente para calcular a integral: defina
Com isso a integral simplifica muito:
Portanto obtemos
onde
é uma constante arbitrária (pode absorver constantes de integração anteriores).
Passo 7
Isolando
:
Isso dá a família de soluções gerais, com
.
Passo 8
Verificação rápida (mini-checagem): seja
. Calcule
:
Multiplicando por
e somando
:
confirmando que a solução encontrada satisfaz a equação original.