Ache a solução geral de cada uma das seguintes equações diferenciais.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
O que é pedido: encontrar a solução geral
dessa equação (ou seja, todas as soluções dependentes de uma constante arbitrária). Informação relevante dada: a equação é de primeira ordem e envolve
(derivada de
) e
de forma linear.
Passo 2
Classificação e escolha do método. A equação tem a forma padrão de uma equação linear de primeira ordem
onde, aqui,
e
. O método mais direto e didático para esse tipo é o método do fator integrante (integrating factor). Ideia do método: multiplicando a equação por um fator
adequado, o lado esquerdo passa a ser a derivada de
, o que torna a equação facílima de integrar.
Passo 3
Cálculo do fator integrante. O fator integrante
é definido por
Aqui
, logo
Explicação rápida:
é escolhida assim porque
e
, então
.
Passo 4
Multiplicar a equação original por
. Fazendo isso obtemos
Pela construção do fator integrante, o lado esquerdo é exatamente a derivada de
:
Passo 5
Integrar ambos os lados em relação a
. Integramos a igualdade
:
A integral do lado esquerdo é
. A integral do lado direito é
mais uma constante arbitrária
. Assim,
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Isolar
. Dividindo ambos os lados por
(que nunca é zero) obtemos
Interpretação: a solução geral é a soma de uma solução particular
e da solução geral da equação homogênea associada
.
Passo 7
Verificação rápida (para ganhar confiança). Diferenciando
temos
Somando
:
o que confirma que a solução encontrada satisfaz a equação original.
Passo 8
Comentário prático para a prova: uma maneira alternativa rápida, quando o termo à direita é exponencial como
, é tentar uma solução particular do tipo
. Substituindo em
obtém-se
, logo
, o que dá o mesmo
. Combine isso com a solução da homogênea
e pronto — é rápido e seguro.