Ache a solução geral de cada uma das seguintes equações diferenciais.
y^{\prime}+y=e^{x}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y'+y=e^{x}.
O que é pedido: encontrar a solução geral y(x) dessa equação (ou seja, todas as soluções dependentes de uma constante arbitrária). Informação relevante dada: a equação é de primeira ordem e envolve y' (derivada de y) e y de forma linear.

Passo 2

Classificação e escolha do método. A equação tem a forma padrão de uma equação linear de primeira ordem
y'+p(x)\,y=q(x),
onde, aqui, p(x)=1 e q(x)=e^{x}. O método mais direto e didático para esse tipo é o método do fator integrante (integrating factor). Ideia do método: multiplicando a equação por um fator \mu(x) adequado, o lado esquerdo passa a ser a derivada de \mu(x)\,y, o que torna a equação facílima de integrar.

Passo 3

Cálculo do fator integrante. O fator integrante \mu(x) é definido por
\mu(x)=\exp\!\left(\int p(x)\,dx\right).
Aqui p(x)=1, logo
\mu(x)=\exp\!\left(\int 1\,dx\right)=\exp(x)=e^{x}.
Explicação rápida: \mu é escolhida assim porque \big(\mu y\big)'=\mu y'+\mu' y e \mu'=\mu p, então \mu y'+\mu p y=\big(\mu y\big)'.

Passo 4

Multiplicar a equação original por \mu(x)=e^{x}. Fazendo isso obtemos
e^{x}y' + e^{x}y = e^{x}\cdot e^{x} = e^{2x}.
Pela construção do fator integrante, o lado esquerdo é exatamente a derivada de e^{x}y:
\big(e^{x}y\big)' = e^{2x}.

Passo 5

Integrar ambos os lados em relação a x. Integramos a igualdade \big(e^{x}y\big)' = e^{2x}:
\int \big(e^{x}y\big)'\,dx = \int e^{2x}\,dx.
A integral do lado esquerdo é e^{x}y. A integral do lado direito é \dfrac{1}{2}e^{2x} mais uma constante arbitrária C. Assim,
e^{x}y = \frac{1}{2}e^{2x} + C,
onde C\in\mathbb{R} é a constante de integração.

Passo 6

Isolar y. Dividindo ambos os lados por e^{x} (que nunca é zero) obtemos
y = \frac{1}{2}e^{x} + C e^{-x}.
Interpretação: a solução geral é a soma de uma solução particular \dfrac{1}{2}e^{x} e da solução geral da equação homogênea associada y_h = C e^{-x}.

Passo 7

Verificação rápida (para ganhar confiança). Diferenciando y temos
y' = \frac{1}{2}e^{x} - C e^{-x}.
Somando y'+y:
y'+y = \left(\frac{1}{2}e^{x} - C e^{-x}\right) + \left(\frac{1}{2}e^{x} + C e^{-x}\right) = e^{x},
o que confirma que a solução encontrada satisfaz a equação original.

Passo 8

Comentário prático para a prova: uma maneira alternativa rápida, quando o termo à direita é exponencial como e^{x}, é tentar uma solução particular do tipo y_p=A e^{x}. Substituindo em y'+y=e^{x} obtém-se 2A e^{x}=e^{x}, logo A=\tfrac{1}{2}, o que dá o mesmo y_p=\tfrac{1}{2}e^{x}. Combine isso com a solução da homogênea Ce^{-x} e pronto — é rápido e seguro.

Resposta

y(x)=\dfrac{1}{2}e^{x}+C e^{-x}

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