Um bloco de massa
é colocado no topo de uma rampa de altura
que faz um ângulo
com a horizontal (acima à direita). Supondo que o bloco vai deslizar, e que o coeficiente de atrito cinético vale
, responda os itens abaixo:
a) Escolha um referencial e desenhe um diagrama das forças que atuam sobre o bloco.
b) Calcule as forças que atuam no bloco.
c) Calcule a aceleração do bloco.
d) Calcule o trabalho de cada uma das forças que atua sobre o bloco do início ao fim da rampa.
e) Calcule a energia mecânica do bloco no fim da rampa.
a) Escolha um referencial e desenhe um diagrama das forças que atuam sobre o bloco.
b) Calcule as forças que atuam no bloco.
c) Calcule a aceleração do bloco.
d) Calcule o trabalho de cada uma das forças que atua sobre o bloco do início ao fim da rampa.
e) Calcule a energia mecânica do bloco no fim da rampa.
Passo 1
O enunciado dá um bloco de massa
colocado no topo de uma rampa inclinada de altura
e ângulo
com a horizontal. O coeficiente de atrito cinético entre bloco e rampa é
. O bloco desliza do topo até a base da rampa.
As perguntas são:
a) Escolher um referencial e desenhar o diagrama das forças que atuam no bloco.
b) Calcular as forças que atuam no bloco (módulos e direções).
c) Calcular a aceleração do bloco.
d) Calcular o trabalho de cada força que atua sobre o bloco do início ao fim da rampa.
e) Calcular a energia mecânica do bloco no fim da rampa.
a) Escolher um referencial e desenhar o diagrama das forças que atuam no bloco.
b) Calcular as forças que atuam no bloco (módulos e direções).
c) Calcular a aceleração do bloco.
d) Calcular o trabalho de cada força que atua sobre o bloco do início ao fim da rampa.
e) Calcular a energia mecânica do bloco no fim da rampa.
Informações relevantes dadas:
- massa do bloco:
. - altura vertical da rampa:
. - ângulo da rampa:
. - coeficiente de atrito cinético:
. - o bloco parte do repouso no topo (implied pela situação típica) e desliza até a base.
Passo 2
Escolha do referencial e diagrama de forças (descrição do desenho).
Referencial conveniente:
- Eixo
apontando ao longo da superfície da rampa, para baixo (direção do movimento do bloco). - Eixo
perpendicular à superfície da rampa, para fora da superfície (normal à rampa).
Diagrama das forças (descrever como desenhar):
- Força peso: desenhar
apontando verticalmente para baixo (vertical para baixo). - Força normal: desenhar
perpendicular à superfície, apontando para fora da rampa (direção ). - Força de atrito cinético: desenhar
ao longo da superfície, apontando para cima da rampa (oposta ao sentido do movimento), com módulo .
Observação sobre o diagrama:
pode ser decomposta nas componentes na base do nosso referencial: uma componente paralela à rampa (orientada para baixo ao longo do eixo
) e uma componente perpendicular à rampa (sobre o eixo
).
Passo 3
Cálculo das componentes do peso e das forças normais/atrito (aulas rápidas sobre conceitos usados).
Conceito (projeção de uma força em eixos inclinados): para decompor a força peso
em componentes paralela e perpendicular à rampa, usa-se trigonometria em um triângulo retângulo cuja hipotenusa é
e o ângulo entre a vertical e a normal/parallel é
. As componentes são:
- componente paralela à rampa (para baixo):
. - componente perpendicular à rampa (pressionando a rampa):
.
Explicando passo a passo:
- Imagine o vetor peso vertical de comprimento
. Ao projetá-lo sobre o eixo perpendicular à inclinação, a projeção vale . Ao projetar no eixo paralelo à inclinação (para baixo), a projeção vale . (Esses resultados vêm da trigonometria básica num triângulo com ângulo .)
Agora as outras forças:
- Força normal
: como não há aceleração no sentido perpendicular à superfície (assumimos que o bloco não se afasta da rampa nem penetra nela), a soma das forças no eixo é zero. Assim
- Força de atrito cinético (módulo): a lei do atrito cinético diz que o módulo da força de atrito é proporcional à normal,
Direção: apontando contrária ao deslocamento (isto é, para cima ao longo da rampa).
Resumo dos módulos e direções:
- peso:
para baixo (componentes ao longo da rampa para baixo e perpendicular). - normal:
, perpendicular para fora da rampa. - atrito:
, ao longo da rampa, para cima (oposto ao movimento).
Passo 4
Cálculo da força resultante ao longo da rampa e da aceleração (aplicando a 2ª lei de Newton).
Forças ao longo do eixo
(orientado para baixo ao longo da rampa):
- componente do peso para baixo:
. - atrito para cima:
.
Força resultante ao longo da rampa:
Aplicando a segunda lei de Newton (
) para obter a aceleração
na direção do eixo
:
Cancelando
(útil: massa cancela nas equações de movimento quando todas as forças são proporcionais a
):
Comentário prático: para o bloco deslizar é necessário que
, ou seja
(equivalente a
). O enunciado diz que o bloco vai deslizar, então assumimos que essa condição vale.
Passo 5
Cálculo do trabalho realizado por cada força durante o deslocamento inteiro da rampa (definições e aplicações).
Primeiro, relação entre o deslocamento ao longo da rampa
e a altura
:
Desenhe o triângulo formado pela rampa: a altura vertical é e o comprimento ao longo da rampa é
. Pela trigonometria,
Desenhe o triângulo formado pela rampa: a altura vertical é
Definição de trabalho de uma força constante
ao longo de um deslocamento
:
onde
é o ângulo entre
e
. Aqui todas as forças têm direção fixa relativa ao deslocamento.
Agora cada força:
- Trabalho da força peso
:
- A componente do peso ao longo do deslocamento tem módulo
na direção do deslocamento. Portanto
Interpretação física: a gravidade realiza trabalho positivo igual a
quando o bloco desce altura
.
- Trabalho da normal
:
- A normal é perpendicular ao deslocamento (ângulo
), logo
- Trabalho da força de atrito
:
- A força de atrito tem módulo
e atua contra o deslocamento, portanto e o trabalho é negativo:
(Outra forma de escrever é
.)
Resumo dos trabalhos:
-
. -
. -
.
Passo 6
Cálculo da energia mecânica final do bloco (uso do teorema do trabalho-energia / conservação com trabalho não conservativo).
Definição de energia mecânica e teorema do trabalho e energia:
- Energia mecânica total
(energia cinética mais energia potencial ). - O teorema trabalho-energia: a variação da energia cinética é igual ao trabalho resultante das forças:
- Quando há forças não conservativas (aqui o atrito), a energia mecânica não é conservada; a energia mecânica final é energia mecânica inicial mais o trabalho das forças não conservativas. Uma forma prática:
Aqui:
- Tomando o nível de referência de energia potencial
no final da rampa (base), a energia mecânica inicial no topo é apenas potencial:
- A única força não conservativa que realiza trabalho é o atrito, com
.
Logo a energia mecânica final é
Interpretação: a energia mecânica final é toda cinética no pé da rampa (já que
), então
Também é possível relacionar com a aceleração: usando
e
obtém-se o mesmo resultado (consistência entre métodos).
Observação de consistência física: para
positivo é necessário
, que é equivalente à condição de deslize
citada antes. Se essa quantidade fosse negativa, fisicamente o bloco pararia antes de chegar ao pé (mas o enunciado afirma que desliza até o fim).
Resposta
a) Referencial: eixo
ao longo da rampa para baixo e eixo
perpendicular à rampa para fora. Diagrama das forças: peso
para baixo (componentes
ao longo da rampa e
perpendicular), normal
perpendicular para fora com
, atrito
ao longo da rampa para cima com
.
b) .
. Componente do peso ao longo da rampa:
.
c) .
d) Trabalhos do topo até a base: .
.
.
e) Energia mecânica final: .
b)
c)
d) Trabalhos do topo até a base:
e) Energia mecânica final: