Um bloco de massa m é colocado no topo de uma rampa de altura h que faz um ângulo \theta com a horizontal (acima à direita). Supondo que o bloco vai deslizar, e que o coeficiente de atrito cinético vale \mu, responda os itens abaixo:
a) Escolha um referencial e desenhe um diagrama das forças que atuam sobre o bloco.
b) Calcule as forças que atuam no bloco.
c) Calcule a aceleração do bloco.
d) Calcule o trabalho de cada uma das forças que atua sobre o bloco do início ao fim da rampa.
e) Calcule a energia mecânica do bloco no fim da rampa.

Passo 1

O enunciado dá um bloco de massa m colocado no topo de uma rampa inclinada de altura h e ângulo \theta com a horizontal. O coeficiente de atrito cinético entre bloco e rampa é \mu. O bloco desliza do topo até a base da rampa.
As perguntas são:
a) Escolher um referencial e desenhar o diagrama das forças que atuam no bloco.
b) Calcular as forças que atuam no bloco (módulos e direções).
c) Calcular a aceleração do bloco.
d) Calcular o trabalho de cada força que atua sobre o bloco do início ao fim da rampa.
e) Calcular a energia mecânica do bloco no fim da rampa.
Informações relevantes dadas:
  • massa do bloco: m.
  • altura vertical da rampa: h.
  • ângulo da rampa: \theta.
  • coeficiente de atrito cinético: \mu.
  • o bloco parte do repouso no topo (implied pela situação típica) e desliza até a base.

Passo 2

Escolha do referencial e diagrama de forças (descrição do desenho).
Referencial conveniente:
  • Eixo x apontando ao longo da superfície da rampa, para baixo (direção do movimento do bloco).
  • Eixo y perpendicular à superfície da rampa, para fora da superfície (normal à rampa).
Diagrama das forças (descrever como desenhar):
  • Força peso: desenhar \vec{P}=m\vec{g} apontando verticalmente para baixo (vertical para baixo).
  • Força normal: desenhar \vec{N} perpendicular à superfície, apontando para fora da rampa (direção +y).
  • Força de atrito cinético: desenhar \vec{f}_k ao longo da superfície, apontando para cima da rampa (oposta ao sentido do movimento), com módulo f_k=\mu N.
Observação sobre o diagrama: \vec{P} pode ser decomposta nas componentes na base do nosso referencial: uma componente paralela à rampa (orientada para baixo ao longo do eixo x) e uma componente perpendicular à rampa (sobre o eixo y).

Passo 3

Cálculo das componentes do peso e das forças normais/atrito (aulas rápidas sobre conceitos usados).
Conceito (projeção de uma força em eixos inclinados): para decompor a força peso m\vec{g} em componentes paralela e perpendicular à rampa, usa-se trigonometria em um triângulo retângulo cuja hipotenusa é m g e o ângulo entre a vertical e a normal/parallel é \theta. As componentes são:
  • componente paralela à rampa (para baixo): m g \sin\theta.
  • componente perpendicular à rampa (pressionando a rampa): m g \cos\theta.
Explicando passo a passo:
  • Imagine o vetor peso vertical de comprimento m g. Ao projetá-lo sobre o eixo perpendicular à inclinação, a projeção vale m g \cos\theta. Ao projetar no eixo paralelo à inclinação (para baixo), a projeção vale m g \sin\theta. (Esses resultados vêm da trigonometria básica num triângulo com ângulo \theta.)
Agora as outras forças:
  • Força normal \vec{N}: como não há aceleração no sentido perpendicular à superfície (assumimos que o bloco não se afasta da rampa nem penetra nela), a soma das forças no eixo y é zero. Assim
N - m g \cos\theta = 0 \quad\Rightarrow\quad N = m g \cos\theta.
  • Força de atrito cinético (módulo): a lei do atrito cinético diz que o módulo da força de atrito é proporcional à normal,
f_k = \mu N = \mu m g \cos\theta.
Direção: apontando contrária ao deslocamento (isto é, para cima ao longo da rampa).
Resumo dos módulos e direções:
  • peso: m g para baixo (componentes m g \sin\theta ao longo da rampa para baixo e m g \cos\theta perpendicular).
  • normal: N = m g \cos\theta, perpendicular para fora da rampa.
  • atrito: f_k = \mu m g \cos\theta, ao longo da rampa, para cima (oposto ao movimento).

Passo 4

Cálculo da força resultante ao longo da rampa e da aceleração (aplicando a 2ª lei de Newton).
Forças ao longo do eixo x (orientado para baixo ao longo da rampa):
  • componente do peso para baixo: m g \sin\theta.
  • atrito para cima: f_k = \mu m g \cos\theta.
Força resultante ao longo da rampa:
F_{\text{res}} = m g \sin\theta - \mu m g \cos\theta.
Aplicando a segunda lei de Newton ( F_{\text{res}} = m a) para obter a aceleração a na direção do eixo x:
m a = m g \sin\theta - \mu m g \cos\theta.
Cancelando m (útil: massa cancela nas equações de movimento quando todas as forças são proporcionais a m):
a = g\bigl(\sin\theta - \mu \cos\theta\bigr).
Comentário prático: para o bloco deslizar é necessário que a>0, ou seja \sin\theta > \mu\cos\theta (equivalente a \tan\theta > \mu). O enunciado diz que o bloco vai deslizar, então assumimos que essa condição vale.

Passo 5

Cálculo do trabalho realizado por cada força durante o deslocamento inteiro da rampa (definições e aplicações).
Primeiro, relação entre o deslocamento ao longo da rampa s e a altura h:
Desenhe o triângulo formado pela rampa: a altura vertical é h e o comprimento ao longo da rampa é s. Pela trigonometria,
\sin\theta = \frac{h}{s}\quad\Rightarrow\quad s=\frac{h}{\sin\theta}.
Definição de trabalho de uma força constante \vec{F} ao longo de um deslocamento \vec{d}:
W = \vec{F}\cdot\vec{d} = F\,d\cos\varphi,
onde \varphi é o ângulo entre \vec{F} e \vec{d}. Aqui todas as forças têm direção fixa relativa ao deslocamento.
Agora cada força:
  1. Trabalho da força peso W_g:
  • A componente do peso ao longo do deslocamento tem módulo m g \sin\theta na direção do deslocamento. Portanto
W_g = (m g \sin\theta)\cdot s = m g \sin\theta \cdot \frac{h}{\sin\theta} = m g h.
Interpretação física: a gravidade realiza trabalho positivo igual a m g h quando o bloco desce altura h.
  1. Trabalho da normal W_N:
  • A normal é perpendicular ao deslocamento (ângulo \varphi=90^\circ), logo
W_N = 0.
  1. Trabalho da força de atrito W_{f}:
  • A força de atrito tem módulo f_k=\mu m g \cos\theta e atua contra o deslocamento, portanto \varphi=180^\circ e o trabalho é negativo:
W_{f} = - f_k \, s = -\mu m g \cos\theta \cdot \frac{h}{\sin\theta} = -\mu m g h \cot\theta.
(Outra forma de escrever é W_{f} = -\mu m g \cos\theta\, s.)
Resumo dos trabalhos:
  • W_g = m g h.
  • W_N = 0.
  • W_{f} = -\mu m g h \cot\theta.

Passo 6

Cálculo da energia mecânica final do bloco (uso do teorema do trabalho-energia / conservação com trabalho não conservativo).
Definição de energia mecânica e teorema do trabalho e energia:
  • Energia mecânica total E_{\text{m}} = K + U (energia cinética K mais energia potencial U).
  • O teorema trabalho-energia: a variação da energia cinética é igual ao trabalho resultante das forças:
\Delta K = W_{\text{total}}.
  • Quando há forças não conservativas (aqui o atrito), a energia mecânica não é conservada; a energia mecânica final é energia mecânica inicial mais o trabalho das forças não conservativas. Uma forma prática:
E_{\text{m,f}} = E_{\text{m,i}} + W_{\text{nc}}.
Aqui:
  • Tomando o nível de referência de energia potencial U=0 no final da rampa (base), a energia mecânica inicial no topo é apenas potencial:
E_{\text{m,i}} = U_{\text{i}} = m g h.
  • A única força não conservativa que realiza trabalho é o atrito, com W_{\text{nc}} = W_{f} = -\mu m g h \cot\theta.
Logo a energia mecânica final é
E_{\text{m,f}} = m g h + \bigl(-\mu m g h \cot\theta\bigr) = m g h\bigl(1 - \mu \cot\theta\bigr).
Interpretação: a energia mecânica final é toda cinética no pé da rampa (já que U_{\text{final}}=0), então
K_{\text{final}} = m g h\bigl(1 - \mu \cot\theta\bigr).
Também é possível relacionar com a aceleração: usando v^2 = 2 a s e K_{\text{final}}=\tfrac12 m v^2 obtém-se o mesmo resultado (consistência entre métodos).
Observação de consistência física: para K_{\text{final}} positivo é necessário 1 - \mu \cot\theta>0, que é equivalente à condição de deslize \tan\theta>\mu citada antes. Se essa quantidade fosse negativa, fisicamente o bloco pararia antes de chegar ao pé (mas o enunciado afirma que desliza até o fim).

Resposta

a) Referencial: eixo x ao longo da rampa para baixo e eixo y perpendicular à rampa para fora. Diagrama das forças: peso m\vec{g} para baixo (componentes m g\sin\theta ao longo da rampa e m g\cos\theta perpendicular), normal \vec{N} perpendicular para fora com N=m g\cos\theta, atrito \vec{f}_k ao longo da rampa para cima com f_k=\mu m g\cos\theta.
b) N = m g \cos\theta. \;f_k=\mu m g\cos\theta. Componente do peso ao longo da rampa: m g\sin\theta.
c) a = g\bigl(\sin\theta - \mu\cos\theta\bigr).
d) Trabalhos do topo até a base: W_g = m g h. W_N = 0. W_{f} = -\mu m g h \cot\theta.
e) Energia mecânica final: E_{\text{m,f}} = m g h\bigl(1 - \mu \cot\theta\bigr).

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