Um soldado de 85 kg salta de um avião e logo depois abre seu paraquedas. Considere o coeficiente de arrasto, b, igual a 17 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}. Se a força de arrasto é proporcional ao quadrado da velocidade, qual é a velocidade terminal deste paraquedista?
a. \quad 4,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}
b. \quad 7,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}
c. \quad 17 \mathrm{~m} / \mathrm{s}
d. 29 \mathrm{~m} / \mathrm{s}
e. Nenhuma das opções acima. A velocidade vai continuar a aumentar e nunca alcançará a velocidade terminal.

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte:
  • Massa do soldado: m=85\\ \mathrm{kg}.
  • Coeficiente de arrasto (para arrasto proporcional a v^2): b=17\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}.
  • A força de arrasto é proporcional ao quadrado da velocidade, isto é, a força de arrasto vale F_{\text{arr}}=b\,v^{2}.
  • Valor da aceleração da gravidade: vou usar g=9{,}8\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} (valor padrão).
    O que é pedido: determinar a velocidade terminal do paraquedista (velocidade em que ele cai sem acelerar mais).

Passo 2

Entendendo fisicamente e escrevendo as forças:
  • A força peso, para baixo, tem módulo mg. Aqui m é a massa (em \mathrm{kg}) e g é a aceleração da gravidade (em \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}). O produto mg tem unidades de Newton ( \mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}).
  • A força de arrasto, apontando para cima, tem módulo F_{\text{arr}}=b\,v^{2}. Aqui b tem unidades \mathrm{kg}/\mathrm{m} e v tem unidades \mathrm{m}/\mathrm{s}. Então b\,v^{2} tem unidades \mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}, compatíveis com Newton — bom sinal.
    Definição de velocidade terminal: é a velocidade v_{t} para a qual a resultante das forças é zero (ou seja, não há aceleração). Portanto, no regime terminal vale:
\text{peso} = \text{arrasto},
ou seja
m g = b\,v_{t}^{2}.

Passo 3

Isolando v_{t} na equação m g = b\,v_{t}^{2}:
v_{t}^{2}=\frac{m g}{b}.
Como velocidade terminal é uma velocidade positiva, tomamos a raiz quadrada positiva:
v_{t}=\sqrt{\frac{m g}{b}}.
Aqui:
  • m é a massa em \mathrm{kg},
  • g é 9{,}8\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2},
  • b é o coeficiente dado em \mathrm{kg}/\mathrm{m}.
    É sempre bom checar unidades: \dfrac{m g}{b} tem unidades \dfrac{\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}}{\mathrm{kg}/\mathrm{m}}=\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}^{2}. A raiz dá \mathrm{m}/\mathrm{s}, consistente.

Passo 4

Substituindo os valores numéricos e calculando passo a passo:
m g = 85 \times 9{,}8 = 833\\ \text{(unidade: N)}.
\frac{m g}{b}=\frac{833}{17}=49.
v_{t}=\sqrt{49}=7.
Portanto a velocidade terminal é v_{t}=7{,}0\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.

Passo 5

Interpretação final e checagem com as alternativas: o valor calculado v_{t}=7{,}0\\ \mathrm{m}/\mathrm{s} corresponde à alternativa b. Você pode confiar que a fórmula v_{t}=\sqrt{mg/b} é a maneira rápida de obter esse resultado em prova: iguala-se peso e arrasto, isola-se v e calcula-se.

Resposta

b. 7{,}0\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}

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