Ache a solução geral da EDO:

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial ordinária (EDO) dada:
x cdot cos x = (2 y + e^3 y) cdot y'
Essa questão envolve métodos para resolver EDOs, especificamente a separação de variáveis. Precisaremos reorganizar a equação para separar os termos que envolvem y dos que envolvem x e, assim, integrar ambos os lados.

Passo 2

Primeiro, vamos isolar y' na equação:
y' = x cdot cos x2 y + e^3 y
Uma EDO separável é aquela em que conseguimos separar as variáveis y e x em lados opostos da equação. Isso facilita a resolução através da integração.

Passo 3

Agora, vamos separar as variáveis multiplicando ambos os lados por (2 y + e^3 y) , dx:
(2 y + e^3 y) , dy = x cdot cos x , dx
Dessa forma, todos os termos com y ficam de um lado e os termos com x do outro, permitindo que integremos cada lado separadamente.

Passo 4

Em seguida, integramos ambos os lados da equação:
integral (2 y + e^3 y) , dy = integral x cdot cos x , dx
A integração é o processo reverso da derivação e nos ajuda a encontrar a função y(x) que satisfaz a EDO.

Passo 5

Vamos calcular as integrais:
Para o lado esquerdo:
integral 2 y , dy + integral e^3 y , dy = y^2 + 13 e^3 y + C1
Para o lado direito, usamos a integração por partes. Seja u = x e dv = cos x , dx. Então, du = dx e v = sin x. Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral x cdot cos x , dx = x cdot sin x - integral sin x , dx = x cdot sin x + cos x + C2

Resposta

Unindo os resultados das integrais, a solução geral da EDO é:
y^2 + 13 e^3 y = x cdot sin x + cos x + C
Onde C é a constante de integração.

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