Ache a solução geral da EDO:
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial ordinária (EDO) dada:
Essa questão envolve métodos para resolver EDOs, especificamente a separação de variáveis. Precisaremos reorganizar a equação para separar os termos que envolvem
dos que envolvem
e, assim, integrar ambos os lados.
Passo 2
Primeiro, vamos isolar
na equação:
Uma EDO separável é aquela em que conseguimos separar as variáveis
e
em lados opostos da equação. Isso facilita a resolução através da integração.
Passo 3
Agora, vamos separar as variáveis multiplicando ambos os lados por
:
Dessa forma, todos os termos com
ficam de um lado e os termos com
do outro, permitindo que integremos cada lado separadamente.
Passo 4
Em seguida, integramos ambos os lados da equação:
A integração é o processo reverso da derivação e nos ajuda a encontrar a função
que satisfaz a EDO.
Passo 5
Vamos calcular as integrais:
Para o lado esquerdo:
Para o lado direito, usamos a integração por partes. Seja
e
. Então,
e
. Aplicando a fórmula de integração por partes:
Resposta
Unindo os resultados das integrais, a solução geral da EDO é:
Onde
é a constante de integração.