Ache a solução geral da EDO:
d yd t=e^t+y+3

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a solução geral da Equação Diferencial Ordinária (EDO):
dydt = e^t + y + 3
Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais que envolvem derivadas de uma função desconhecida $ y(t) $. Para resolver, vamos precisar aplicar técnicas de separação de variáveis e integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação para facilitar a resolução. Observe que:
e^t + y + 3 = e^t cdot e^y cdot e^3
Como $ e^{3} $ é uma constante, podemos reescrever a equação como:
e^3

Passo 3

Agora, vamos usar a técnica de separação de variáveis. Isso significa que queremos colocar todos os termos com $ y $ de um lado e todos os termos com $ t $ do outro lado. Para isso, dividimos ambos os lados por $ e^{y} $:
y
Simplificando:
t

Passo 4

Em seguida, vamos integrar ambos os lados da equação. A ideia é encontrar as antiderivadas de cada lado:
integral e^-y , dy = integral e^3 e^t , dt
A integral do lado esquerdo é:
integral e^-y , dy = -e^-y + C1
E a integral do lado direito é:
integral e^3 e^t , dt = e^3 integral e^t , dt = e^3 e^t + C2
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes de integração.

Passo 5

Vamos simplificar a equação resultante:
- e^-y = e^3 e^t + C
Aqui, $ C = C_2 - C_1 $ é uma constante geral.

Passo 6

Para isolar $ y $, multiplicamos ambos os lados por $ -1 $:
y
Podemos reescrever $ -C $ como uma nova constante $ C’ $:
-1

Passo 7

Agora, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados para resolver para $ y $:
y
Multiplicando por $ -1 $:
- y = ln(-e^3 + t + C')
Podemos simplificar a constante $ C’ $ para $ C $, já que é uma constante arbitrária:
-1

Resposta

A solução geral da EDO é:
y(t) = -ln(C - e^3 + t)
onde $ C $ é uma constante arbitrária.

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