Ache a solução geral da EDO:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a solução geral da Equação Diferencial Ordinária (EDO):
Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais que envolvem derivadas de uma função desconhecida $ y(t) $. Para resolver, vamos precisar aplicar técnicas de separação de variáveis e integração.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação para facilitar a resolução. Observe que:
Como $ e^{3} $ é uma constante, podemos reescrever a equação como:
Passo 3
Agora, vamos usar a técnica de separação de variáveis. Isso significa que queremos colocar todos os termos com $ y $ de um lado e todos os termos com $ t $ do outro lado. Para isso, dividimos ambos os lados por $ e^{y} $:
Simplificando:
Passo 4
Em seguida, vamos integrar ambos os lados da equação. A ideia é encontrar as antiderivadas de cada lado:
A integral do lado esquerdo é:
E a integral do lado direito é:
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes de integração.
Passo 5
Vamos simplificar a equação resultante:
Aqui, $ C = C_2 - C_1 $ é uma constante geral.
Passo 6
Para isolar $ y $, multiplicamos ambos os lados por $ -1 $:
Podemos reescrever $ -C $ como uma nova constante $ C’ $:
Passo 7
Agora, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados para resolver para $ y $:
Multiplicando por $ -1 $:
Podemos simplificar a constante $ C’ $ para $ C $, já que é uma constante arbitrária:
Resposta
A solução geral da EDO é:
onde $ C $ é uma constante arbitrária.