Calcule a função comprimento de arco s(t).
r(t)=lang<= t^2, 2t^2, t^3 rang<=, t0=0.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a função comprimento de arco s(t) da curva no espaço dada por r(t)=lang<= t^2,2t^2,t^3rang<= com condição inicial t0=0. O conteúdo é comprimento de curva, onde usamos s(t)=integralt0^tlVertr'(u)rVert,du.

Passo 2

Calcular a derivada da curva: r'(t)=llang<=2t,4t,3t^2rrang<=.

Passo 3

Determinar a norma de r'(t):
lVertr'(t)rVert=raiz(2t)^2+(4t)^2+(3t^2)^2=raiz4t^2+16t^2+9t^4=raizt^2(20+9t^2)=traiz20+9t^2, considerando t>=0.

Passo 4

Montar o integral para o comprimento de arco:
s(t)=integral0^turaiz20+9u^2,du

Passo 5

Resolver o integral por substituição: seja w=9u^2+20, então dw=18u,du e u,du=dw/18. O integral vira
integral0^turaiz9u^2+20,du=118integralw(0)^w(t)w^1/2,dw=118cdot23l[w^3/2r]20^9t^2+20=127l[(9t^2+20)^3/2-20^3/2r]

Resposta

s(t)=127l[(9t^2+20)^3/2-20^3/2r].

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