Ache a solução geral da EDO:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) que o exercício propôs. A equação que temos é:
y cdot tan x = a + y com y(pi3) = a e 0 < x < pi2
Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares de primeira ordem e o método do fator integrante para resolver essa EDO.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para deixá-la no formato padrão de uma EDO linear. Queremos isolar $ y′ $:
y
Sabemos que $ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} $, então $ \frac{1}{\tan x} = \cot x $. Assim, a equação fica:
y cdot tan x = a + y Rightarrow y = atan x + ytan x
Rearranjando para o formato padrão $ y′ + P(x) y = Q(x) $:
tan x = sin xcos x

Passo 3

Agora, identificamos $ P(x) = -\cot x $ e $ Q(x) = a \cot x $. O próximo passo é encontrar o fator integrante $ \mu(x) $, que vai nos ajudar a resolver a equação.
A fórmula para o fator integrante é:
P(x) = -cot x
Calculando a integral:
Q(x) = a cot x
Portanto:
mu(x)

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante $ \mu(x) $:
mu(x)
Simplificando, percebemos que o lado esquerdo da equação se torna a derivada do produto $ \mu(x) y $:
1sin x y - cot xsin x y = a cot xsin x

Passo 5

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação em relação a $ x $:
x
O lado esquerdo simplesmente se torna $ \frac{y}{\sin x} $. Vamos resolver a integral do lado direito:
Sabemos que $ \cot x = \frac{\cos x}{\sin x} $, então:
integral ddx ( ysin x ) dx = integral a cot xsin x dx
Fazendo a substituição $ u = \sin x $, $ du = \cos x dx $, a integral se transforma em:
ysin x

Passo 6

Voltando à equação integrada:
ysin x = -asin x + C
Multiplicando ambos os lados por $ \sin x $ para isolar $ y $:
sin x

Passo 7

Finalmente, aplicamos a condição inicial $ y\left(\frac{\pi}{3}\right) = a $ para determinar a constante $ C $:
y(pi3) = a
Sabendo que $ \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} $, temos:
C

Resposta

A solução geral da EDO é:
y = -a + 4araiz3 sin x

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