Ache a solução geral da EDO:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) que o exercício propôs. A equação que temos é:
Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares de primeira ordem e o método do fator integrante para resolver essa EDO.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para deixá-la no formato padrão de uma EDO linear. Queremos isolar $ y′ $:
Sabemos que $ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} $, então $ \frac{1}{\tan x} = \cot x $. Assim, a equação fica:
Rearranjando para o formato padrão $ y′ + P(x) y = Q(x) $:
Passo 3
Agora, identificamos $ P(x) = -\cot x $ e $ Q(x) = a \cot x $. O próximo passo é encontrar o fator integrante $ \mu(x) $, que vai nos ajudar a resolver a equação.
A fórmula para o fator integrante é:
Calculando a integral:
Portanto:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante $ \mu(x) $:
Simplificando, percebemos que o lado esquerdo da equação se torna a derivada do produto $ \mu(x) y $:
Passo 5
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação em relação a $ x $:
O lado esquerdo simplesmente se torna $ \frac{y}{\sin x} $. Vamos resolver a integral do lado direito:
Sabemos que $ \cot x = \frac{\cos x}{\sin x} $, então:
Fazendo a substituição $ u = \sin x $, $ du = \cos x dx $, a integral se transforma em:
Passo 6
Voltando à equação integrada:
Multiplicando ambos os lados por $ \sin x $ para isolar $ y $:
Passo 7
Finalmente, aplicamos a condição inicial $ y\left(\frac{\pi}{3}\right) = a $ para determinar a constante $ C $:
Sabendo que $ \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} $, temos:
Resposta
A solução geral da EDO é: