Calcule a função comprimento de arco s(t).
r(t)=lang<= 4t^1/2, ln t, 2t rang<=, t0=1.

Passo 1

Temos a curva vetorial r(t)=lang<=4t^1/2,ln t,2trang<= e queremos a função comprimento de arco s(t) partindo de t0=1. Para isso usamos o conteúdo de comprimento de arco de curvas paramétricas: calculamos r'(t), sua norma e depois integramos.

Passo 2

Derivamos cada componente de r(t). Como d(4t^1/2)/dt=2t^-1/2, d(ln t)/dt=t^-1 e d(2t)/dt=2, obtemos
r'(t)=lang<=2t^-1/2,,t^-1,,2rang<=

Passo 3

Calculamos a norma de r'(t):
|r'(t)|=raiz(2t^-1/2)^2+(t^-1)^2+2^2= raiz4t+1t^2+4= raiz4t^2+4t+1t^2=2t+1t

Passo 4

Integrando de 1 até t a norma obtida, temos
s(t)=integral1^t2u+1u,du=integral1^tl(2+1ur)du=[2u+ln u]1^t=2t+ln t-(2cdot1+ln1)
Como ln1=0, concluímos o resultado.

Passo 5

Resposta

s(t)=2t+ln t-2

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