Ache a solução geral da EDO:
sugestão:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa Equação Diferencial Ordinária (EDO) que a gente tem aqui:
Esse tipo de equação envolve derivadas de uma função desconhecida, que no caso é $ y(t) $. Para resolver, vamos precisar usar o método de separação de variáveis, que nos ajuda a isolar $ y $ de um lado e $ t $ do outro.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para separar as variáveis $ y $ e $ t $. Dividimos ambos os lados por
e por
para ficar assim:
Dessa forma, temos tudo que envolve $ y $ de um lado e tudo que envolve $ t $ do outro.
Passo 3
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A ideia aqui é encontrar as funções antiderivadas que, quando derivadas, nos retornam os lados originais.
A integral de
é
, e a integral de
também é
. Então, após integrar, temos:
Onde $ C $ é a constante de integração que aparece quando fazemos integrais indefinidas.
Passo 4
Para encontrar $ y $ em função de $ t $, vamos aplicar a tangente em ambos os lados da equação para eliminar o arco-tangente. Assim:
Aqui, usamos a propriedade de que $ \tan(\arctan(x)) = x $.
Passo 5
Vamos simplificar a expressão usando a fórmula da tangente da soma:
Aplicando isso na nossa equação, onde $ a = \arctan(t) $ e $ b = C $, temos:
Aqui, $ \tan© $ é apenas outra constante, que podemos renomear para $ K $ para simplificar:
Resposta
A solução geral da EDO é:
Onde $ K $ é uma constante real arbitrária.