Ache a solução geral da EDO:
(1+t^2) d yd t=1+y^2 ; sugestão: tg(a+b)=t g a+tg b1-tga cdot tg b

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa Equação Diferencial Ordinária (EDO) que a gente tem aqui: (1 + t^2) dydt = 1 + y^2
Esse tipo de equação envolve derivadas de uma função desconhecida, que no caso é $ y(t) $. Para resolver, vamos precisar usar o método de separação de variáveis, que nos ajuda a isolar $ y $ de um lado e $ t $ do outro.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para separar as variáveis $ y $ e $ t $. Dividimos ambos os lados por y e por t para ficar assim:
1 + y^2
Dessa forma, temos tudo que envolve $ y $ de um lado e tudo que envolve $ t $ do outro.

Passo 3

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A ideia aqui é encontrar as funções antiderivadas que, quando derivadas, nos retornam os lados originais.
A integral de 11 + y^2 dy é arctan(y), e a integral de 11 + t^2 dt também é arctan(t). Então, após integrar, temos:
arctan(y) = arctan(t) + C
Onde $ C $ é a constante de integração que aparece quando fazemos integrais indefinidas.

Passo 4

Para encontrar $ y $ em função de $ t $, vamos aplicar a tangente em ambos os lados da equação para eliminar o arco-tangente. Assim:
y
Aqui, usamos a propriedade de que $ \tan(\arctan(x)) = x $.

Passo 5

Vamos simplificar a expressão usando a fórmula da tangente da soma:
tan(a + b) = tan(a) + tan(b)1 - tan(a)tan(b)
Aplicando isso na nossa equação, onde $ a = \arctan(t) $ e $ b = C $, temos:
a = arctan(t)
Aqui, $ \tan© $ é apenas outra constante, que podemos renomear para $ K $ para simplificar:
b = C

Resposta

A solução geral da EDO é:
y(t) = t + K1 - K t
Onde $ K $ é uma constante real arbitrária.

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