determine a convergência ou divergência da série dada usando um teste apropriado deste capitulo. Diga qual o teste usado.
$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3 \cdot 5 \cdot 7 \cdots(2 n+1)}{18^{n}(2 n-1) n!} $

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar se a série
sumn=1^infty 3 cdot 5 cdot 7 cdots(2n+1)18^n(2n-1) n!
converge ou diverge usando um teste apropriado. A matéria envolvida aqui é Análise de Séries, e vamos precisar entender como aplicar, por exemplo, o teste da razão para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série para facilitar a aplicação do teste. O numerador é o produto dos números ímpares de 3 até (2n+1). Esse produto pode ser representado como:
3 cdot 5 cdot 7 cdots (2n+1) = (2n+1)!2^n+1 cdot (n+1)!
Isso porque a multiplicação dos ímpares pode ser relacionada ao fatorial.

Passo 3

Agora, substituímos essa expressão na série original:
an = (2n+1)!2^n+1 cdot (n+1)!18^n cdot (2n-1) cdot n! = (2n+1)!2^n+1 cdot (n+1)! cdot 18^n cdot (2n-1) cdot n!

Passo 4

Simplificamos os fatoriais:
Sabemos que (n+1)! = (n+1) cdot n!, então:
an = (2n+1)!2^n+1 cdot (n+1) cdot (n!)^2 cdot 18^n cdot (2n-1)

Passo 5

Para aplicar o teste da razão, calculamos o limite de | an+1an | quando n tende ao infinito:
limn to infty | an+1an |
Isso nos ajudará a determinar se a série converge ou diverge.

Passo 6

Calculando an+1an:
Após simplificar os termos, encontramos que o limite é menor que 1, o que indica que a série converge pelo teste da razão.

Resposta

A série converge pelo teste da razão.

Exercícios relacionados