determine a convergência ou divergência da série dada usando um teste apropriado deste capitulo. Diga qual o teste usado.
$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3 \cdot 5 \cdot 7 \cdots(2 n+1)}{18^{n}(2 n-1) n!} $
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar se a série
converge ou diverge usando um teste apropriado. A matéria envolvida aqui é Análise de Séries, e vamos precisar entender como aplicar, por exemplo, o teste da razão para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série para facilitar a aplicação do teste. O numerador é o produto dos números ímpares de 3 até (2n+1). Esse produto pode ser representado como:
Isso porque a multiplicação dos ímpares pode ser relacionada ao fatorial.
Passo 3
Agora, substituímos essa expressão na série original:
Passo 4
Simplificamos os fatoriais:
Sabemos que , então:
Passo 5
Para aplicar o teste da razão, calculamos o limite de quando n tende ao infinito:
limn to infty | an+1an |
Isso nos ajudará a determinar se a série converge ou diverge.
Passo 6
Calculando an+1an:
Após simplificar os termos, encontramos que o limite é menor que 1, o que indica que a série converge pelo teste da razão.