Resolva as equações diferenciais:
x cdot d yd x+y=raizx resp. y=23 raizx+Cx

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial x cdot dydx + y = raizx. Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem que é linear. Para resolver esse tipo de equação, a gente vai precisar usar um método que envolve encontrar um fator integrante. Isso ajuda a simplificar a equação e encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão das equações lineares, que é dydx + P(x)y = Q(x). Para isso, dividimos todos os termos por x:
dydx + 1xy = raizxx = x^-1/2
Agora, nossa equação está na forma padrão, onde P(x) = 1x e Q(x) = x^-1/2.

Passo 3

O próximo passo é encontrar o fator integrante mu(x), que é essencial para resolver a equação. O fator integrante é dado por:
mu(x) = e^integral P(x) dx
Vamos calcular isso:
mu(x) = e^integral 1x dx = e^ln|x| = x

Passo 4

Agora que temos o fator integrante mu(x) = x, multiplicamos toda a equação original por ele:
x cdot dydx + x cdot 1xy = x cdot x^-1/2
Simplificando os termos:
x cdot dydx + y = x^1/2

Passo 5

Observe que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto x cdot y. Ou seja:
ddx(x cdot y) = x^1/2
Isso facilita bastante a resolução, pois a equação se tornou mais simples.

Passo 6

Vamos integrar ambos os lados em relação a x:
integral ddx(x cdot y) dx = integral x^1/2 dx
Isso resulta em:
x cdot y = 23x^3/2 + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 7

Finalmente, isolamos y para encontrar a solução geral da equação diferencial:
y = 23x^1/2 + Cx = 23raizx + Cx

Resposta

y = 23 raizx + Cx

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