Ache a solução geral da EDO:
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial dada:
Essa é uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) do tipo separável, o que significa que conseguimos separar as variáveis $ y $ e $ t $ em lados opostos da equação. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis e integração.
Passo 2
Primeiro, vamos separar as variáveis $ y $ e $ t $. Para isso, multiplicamos ambos os lados da equação por $ y \cdot \sqrt{1 + y^{2}} $ e por $ dt $:
Agora, as variáveis estão separadas de cada lado da equação.
Passo 3
Em seguida, vamos integrar ambos os lados da equação para encontrar a solução. Assim, temos:
Passo 4
Vamos resolver a integral do lado esquerdo. Para isso, usamos uma substituição. Seja $ u = 1 + y^{2} $, então $ du = 2y , dy $. Reescrevendo a integral:
Passo 5
Agora, vamos resolver a integral do lado direito usando o método de integração por partes. Seja $ u = t $ e $ dv = e^{t} dt $. Então, $ du = dt $ e $ v = e^{t} $. Aplicando a fórmula de integração por partes:
Passo 6
Igualando as duas integrais que calculamos:
Podemos multiplicar ambos os lados por 3 para simplificar:
onde $ C’ $ é uma constante de integração ajustada.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: