Ache a solução geral da EDO:
d yd t=t cdot e^ty cdot raiz1+y^2

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial dada:
dydt = t cdot e^ty cdot raiz1+y^2
Essa é uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) do tipo separável, o que significa que conseguimos separar as variáveis $ y $ e $ t $ em lados opostos da equação. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis e integração.

Passo 2

Primeiro, vamos separar as variáveis $ y $ e $ t $. Para isso, multiplicamos ambos os lados da equação por $ y \cdot \sqrt{1 + y^{2}} $ e por $ dt $:
y
Agora, as variáveis estão separadas de cada lado da equação.

Passo 3

Em seguida, vamos integrar ambos os lados da equação para encontrar a solução. Assim, temos:
integral y cdot raiz1 + y^2 , dy = integral t cdot e^t , dt

Passo 4

Vamos resolver a integral do lado esquerdo. Para isso, usamos uma substituição. Seja $ u = 1 + y^{2} $, então $ du = 2y , dy $. Reescrevendo a integral:
u = 1 + y^2

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral do lado direito usando o método de integração por partes. Seja $ u = t $ e $ dv = e^{t} dt $. Então, $ du = dt $ e $ v = e^{t} $. Aplicando a fórmula de integração por partes:
u = t

Passo 6

Igualando as duas integrais que calculamos:
13 (1 + y^2)^3/2 = e^t(t - 1) + C
Podemos multiplicar ambos os lados por 3 para simplificar:
(1 + y^2)^3/2 = 3 e^t(t - 1) + C'
onde $ C’ $ é uma constante de integração ajustada.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
(1 + y^2)^3/2 = 3 e^t (t - 1) + C

Exercícios relacionados