determine a convergência ou divergência da série dada usando um teste apropriado deste capitulo. Diga qual o teste usado.
$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-3)^{n}}{3 \cdot 5 \cdot 7 \cdots(2 n+1)} $

Passo 1

O enunciado pede para determinar a convergência da série
sumn=1^infty (-3)^n3cdot5cdot7cdots(2n+1)
Isso cai no tema de testes de convergência de séries numéricas, e vamos usar o teste da razão.

Passo 2

Definimos o termo geral
an = (-3)^n3cdot5cdot7cdots(2n+1)
e lembramos que o teste da razão exige calcular
L = limntoinfty |an+1an|
Se L<1, a série converge absolutamente.

Passo 3

Calculamos o módulo da razão:
|an+1an| = 3^n+13cdot5cdots(2(n+1)+1)3^n3cdot5cdots(2n+1) = 32n+3

Passo 4

Agora tomamos o limite:
limntoinfty 32n+3 = 0
Como esse limite é menor que 1, o teste da razão garante convergência absoluta.

Passo 5

Portanto, a série converge absolutamente e, por consequência, converge.

Resposta

A série converge absolutamente pelo teste da razão, pois L = 0 < 1.

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