Ache a solução geral da equação
Passo 1
Beleza! Você tem uma equação diferencial de segunda ordem:
com as condições iniciais $ y(0) = 1 $ e $ y^{\prime}(0) = 6 $. Vamos resolver essa equação usando as técnicas de equações diferenciais lineares de coeficientes constantes. Para isso, vamos precisar encontrar a solução geral dessa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos transformar a equação diferencial em uma equação característica. Isso é feito substituindo $ y $ por $ e^{r x} $, onde $ r $ é um número que vamos determinar. Substituindo, obtemos:
Dividindo todos os termos por $ e^{r x} $ (que nunca é zero), sobra a equação característica:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação quadrática característica:
Podemos usar a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes:
Assim, temos duas raízes reais:
Passo 4
Com as raízes encontradas ($ r_{1} = 4 $ e $ r_{2} = 2 $), a solução geral da equação diferencial é uma combinação linear das soluções correspondentes a cada raiz:
onde $ C_{1} $ e $ C_{2} $ são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 5
Vamos aplicar a primeira condição inicial $ y(0) = 1 $. Substituindo $ x = 0 $ na solução geral:
Isso nos dá a primeira equação:
Passo 6
Agora, vamos derivar $ y(x) $ para usar a segunda condição $ y^{\prime}(0) = 6 $:
Substituindo $ x = 0 $:
Isso nos dá a segunda equação:
Passo 7
Vamos resolver o sistema de equações formado pela Equação 1 e Equação 2:
Podemos multiplicar a Equação 1 por 2 para facilitar a eliminação:
Agora, subtraímos essa nova equação da Equação 2:
Passo 8
Com $ C_{1} = 2 $, substituímos na Equação 1 para encontrar $ C_{2} $:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: