Ache a solução geral da equação
c d^2 yd x^2-6 d yd x+8 y=0 l y(0)=1 y^prime(0)=6

Passo 1

Beleza! Você tem uma equação diferencial de segunda ordem:
d^2 yd x^2 - 6 d yd x + 8 y = 0
com as condições iniciais $ y(0) = 1 $ e $ y^{\prime}(0) = 6 $. Vamos resolver essa equação usando as técnicas de equações diferenciais lineares de coeficientes constantes. Para isso, vamos precisar encontrar a solução geral dessa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos transformar a equação diferencial em uma equação característica. Isso é feito substituindo $ y $ por $ e^{r x} $, onde $ r $ é um número que vamos determinar. Substituindo, obtemos:
y
Dividindo todos os termos por $ e^{r x} $ (que nunca é zero), sobra a equação característica:
e^r x

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação quadrática característica:
r^2 - 6 r + 8 = 0
Podemos usar a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes:
r = 6 pm raiz(-6)^2 - 4 cdot 1 cdot 82 cdot 1 = 6 pm raiz36 - 322 = 6 pm raiz42 = 6 pm 22
Assim, temos duas raízes reais:
r1 = 4 e r2 = 2

Passo 4

Com as raízes encontradas ($ r_{1} = 4 $ e $ r_{2} = 2 $), a solução geral da equação diferencial é uma combinação linear das soluções correspondentes a cada raiz:
r1 = 4
onde $ C_{1} $ e $ C_{2} $ são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 5

Vamos aplicar a primeira condição inicial $ y(0) = 1 $. Substituindo $ x = 0 $ na solução geral:
y(0) = 1
Isso nos dá a primeira equação:
x = 0 çã

Passo 6

Agora, vamos derivar $ y(x) $ para usar a segunda condição $ y^{\prime}(0) = 6 $:
y(x)
Substituindo $ x = 0 $:
y^prime(0) = 6
Isso nos dá a segunda equação:
y^prime(x) = 4 C1 e^4x + 2 C2 e^2x çã

Passo 7

Vamos resolver o sistema de equações formado pela Equação 1 e Equação 2:
C1 + C2 = 1 4 C1 + 2 C2 = 6
Podemos multiplicar a Equação 1 por 2 para facilitar a eliminação:
2 C1 + 2 C2 = 2
Agora, subtraímos essa nova equação da Equação 2:
(4 C1 + 2 C2) - (2 C1 + 2 C2) = 6 - 2 2 C1 = 4 C1 = 2

Passo 8

Com $ C_{1} = 2 $, substituímos na Equação 1 para encontrar $ C_{2} $:
C1 = 2

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = 2 e^4x - e^2x

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