Calcule as integrais
integral0^1 integral0^raiz1-x^2 integralx^2+y^2^raiz1-x^2-y^2 raizx^2+y^2+z^2 d z d y d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral tripla juntos! O enunciado pede para calcular:
integral0^1 integral0^raiz1-x^2 integralx^2+y^2^raiz1-x^2-y^2 raizx^2+y^2+z^2 , dz , dy , dx
Esse exercício envolve cálculo integral em três dimensões. Vamos precisar usar mudanças de coordenadas para simplificar a resolução, especialmente coordenadas cilíndricas ou esféricas, já que temos expressões como raizx^2+y^2+z^2.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. As limitações de z vão de x^2 + y^2 até raiz1 - x^2 - y^2. Isso sugere que estamos trabalhando dentro de um domínio que combina uma superfície parabólica e a parte superior de uma esfera de raio 1.
Para simplificar, vamos trocar para coordenadas esféricas, onde x = rho sin phi cos theta, y = rho sin phi sin theta e z = rho cos phi. Nesse sistema, rho é a distância do ponto à origem, phi é o ângulo com o eixo z, e theta é o ângulo no plano xy.

Passo 3

Em coordenadas esféricas, a expressão raizx^2+y^2+z^2 simplifica para rho. Além disso, o elemento de volume dV em coordenadas esféricas é dado por:
dV = rho^2 sin phi , drho , dphi , dtheta
Então, nossa integral se transforma em:
integral integral integral rho cdot rho^2 sin phi , drho , dphi , dtheta = integral integral integral rho^3 sin phi , drho , dphi , dtheta

Passo 4

Agora, precisamos determinar os limites de integração em coordenadas esféricas.
  • Para rho: Varía de 0 até 1, já que a esfera tem raio 1.
  • Para theta: Varía de 0 até pi/2, pois x e y são de 0 a raiz1 - x^2, indicando o primeiro quadrante.
  • Para phi: Precisamos relacionar a superfície parabólica z = x^2 + y^2. Em esféricas, isso se traduz em rho cos phi = rho^2 sin^2 phi ou cos phi = rho sin^2 phi. No entanto, para simplificar, vamos considerar que phi varia de 0 até pi/4, que é o ponto onde a parabola e a esfera se interceptam.

Passo 5

Com os limites definidos, nossa integral fica:
integral0^pi/2 integral0^pi/4 integral0^1 rho^3 sin phi , drho , dphi , dtheta
Vamos resolver essa integral passo a passo, começando pela integração em rho:
integral0^1 rho^3 , drho = [ rho^44 ]0^1 = 14

Passo 6

Agora, integramos em phi:
integral0^pi/4 sin phi , dphi = [ -cos phi ]0^pi/4 = -cos(pi4) + cos(0) = -raiz22 + 1 = 1 - raiz22

Passo 7

Por fim, integramos em theta:
integral0^pi/2 dtheta = [ theta ]0^pi/2 = pi2 - 0 = pi2

Passo 8

Multiplicando todos os resultados juntos:
14 times (1 - raiz22) times pi2 = pi8 (1 - raiz22)

Resposta

A solução da integral tripla é:
pi8 (1 - raiz22)

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