Calcule as integrais
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral tripla juntos! O enunciado pede para calcular:
Esse exercício envolve cálculo integral em três dimensões. Vamos precisar usar mudanças de coordenadas para simplificar a resolução, especialmente coordenadas cilíndricas ou esféricas, já que temos expressões como
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração. As limitações de
vão de
até
. Isso sugere que estamos trabalhando dentro de um domínio que combina uma superfície parabólica e a parte superior de uma esfera de raio 1.
Para simplificar, vamos trocar para coordenadas esféricas, onde
,
e
. Nesse sistema,
é a distância do ponto à origem,
é o ângulo com o eixo z, e
é o ângulo no plano xy.
Passo 3
Em coordenadas esféricas, a expressão
simplifica para
. Além disso, o elemento de volume
em coordenadas esféricas é dado por:
Então, nossa integral se transforma em:
Passo 4
Agora, precisamos determinar os limites de integração em coordenadas esféricas.
- Para
: Varía de 0 até 1, já que a esfera tem raio 1. - Para
: Varía de 0 até , pois e são de 0 a , indicando o primeiro quadrante. - Para
: Precisamos relacionar a superfície parabólica . Em esféricas, isso se traduz em ou . No entanto, para simplificar, vamos considerar que varia de 0 até , que é o ponto onde a parabola e a esfera se interceptam.
Passo 5
Com os limites definidos, nossa integral fica:
Vamos resolver essa integral passo a passo, começando pela integração em
:
Passo 6
Agora, integramos em
:
Passo 7
Por fim, integramos em
:
Passo 8
Multiplicando todos os resultados juntos:
Resposta
A solução da integral tripla é: