Determine os pontos máximos locais, mínimos locais e pontos de sela da função
Determine os valores máximo e mínimo absolutos de
no conjunto
Passo 1
A questão pede pra gente encontrar onde a função
tem máximos locais, mínimos locais e pontos de sela, e depois achar os extremos absolutos em
. Vamos usar derivadas parciais, a definição de Hessiana pra classificar o tipo de ponto crítico e o teorema de Weierstrass pra extremos absolutos.
Passo 2
Calculo as derivadas parciais e encontro o ponto crítico em
.
Resolvendo o sistema
da segunda equação vem
. Substituindo na primeira:
dá
e então
,
. Assim o único ponto crítico é
.
Passo 3
Para classificar esse ponto uso a Hessiana. Seus elementos são
O discriminante da Hessiana é
Quando
o ponto é de sela. Portanto não há máximos nem mínimos locais, só um ponto de sela em
.
Passo 4
Pelo teorema de Weierstrass, em
os extremos absolutos ocorrem ou em pontos críticos interiores (não há nenhum em
) ou na fronteira. Vou então avaliar
nas arestas e vértices.
Passo 5
Avaliando nas arestas e vértices:
- Vértices:
- Aresta
, :
Máx em
(daí
), mí
em (
).
em
- Aresta
, :
Extremos só em bordo, já calculados em
e
.
- Aresta
, :
Derivando em
:
dá
, dentro do intervalo.
Compara também os extremos nos bordos
(
) e
(
).
- Aresta
, :
extremos só nos bordos já considerados em
e
.
Passo 6
Comparando todos os valores encontrados vemos que o maior é
em
e o menor é
em
. Não há outro valor mais alto ou mais baixo em
.
Resposta
Não há máximos ou mínimos locais; há um ponto de sela em (4,1). O máximo absoluto de z em D é 0 em (0,0) e o mínimo absoluto de z em D é -9 em (1,1).