Determine os pontos máximos locais, mínimos locais e pontos de sela da função
z=x^2+x y-2 y^2-9 x
Determine os valores máximo e mínimo absolutos de z no conjunto
D=0 <= x <= 1,0 <= y <= 1

Passo 1

A questão pede pra gente encontrar onde a função z = x^2 + x y - 2y^2 - 9x tem máximos locais, mínimos locais e pontos de sela, e depois achar os extremos absolutos em D = 0 <= x <= 1,;0 <= y <= 1. Vamos usar derivadas parciais, a definição de Hessiana pra classificar o tipo de ponto crítico e o teorema de Weierstrass pra extremos absolutos.

Passo 2

Calculo as derivadas parciais e encontro o ponto crítico em R^2.
fx = partial zpartial x = 2x + y - 9,
fy = partial zpartial y = x - 4y
Resolvendo o sistema
2x + y - 9 = 0, x - 4y = 0
da segunda equação vem x = 4y. Substituindo na primeira: 2(4y) + y - 9 = 0 9y = 9 e então y = 1, x = 4. Assim o único ponto crítico é (4,1).

Passo 3

Para classificar esse ponto uso a Hessiana. Seus elementos são
fxx = 2,
fxy = 1,
fyy = -4
O discriminante da Hessiana é
D = fxx fyy - (fxy)^2 = 2 cdot (-4) - 1^2 = -9 < 0
Quando D<0 o ponto é de sela. Portanto não há máximos nem mínimos locais, só um ponto de sela em (4,1).

Passo 4

Pelo teorema de Weierstrass, em D=[0,1]times[0,1] os extremos absolutos ocorrem ou em pontos críticos interiores (não há nenhum em D) ou na fronteira. Vou então avaliar z nas arestas e vértices.

Passo 5

Avaliando nas arestas e vértices:
  1. Vértices:
z(0,0)=0, z(1,0)=-8, z(0,1)=-2, z(1,1)=-9
  1. Aresta x=0, 0<= y<=1:
z(0,y)=-2y^2;
Máx em y=0 (daí z=0), mí
em y=1 ( z=-2).
  1. Aresta y=0, 0<= x<=1:
z(x,0)=x^2-9x;
Extremos só em bordo, já calculados em (0,0) e (1,0).
  1. Aresta x=1, 0<= y<=1:
z(1,y)=-8 + y - 2y^2
Derivando em y: 1-4y=0 y=1/4, dentro do intervalo.
z(1,1/4)=-8 + tfrac14 -2cdottfrac116 = -7.875
Compara também os extremos nos bordos y=0 ( -8) e y=1 ( -9).
  1. Aresta y=1, 0<= x<=1:
z(x,1)=x^2-8x-2;
extremos só nos bordos já considerados em (0,1) e (1,1).

Passo 6

Comparando todos os valores encontrados vemos que o maior é z=0 em (0,0) e o menor é z=-9 em (1,1). Não há outro valor mais alto ou mais baixo em D.

Resposta

Não há máximos ou mínimos locais; há um ponto de sela em (4,1). O máximo absoluto de z em D é 0 em (0,0) e o mínimo absoluto de z em D é -9 em (1,1).

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