Ache a solução geral da equação
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem:
Isso faz parte da matéria de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), mais especificamente das equações lineares homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar usar a equação característica.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a equação característica. Para uma EDO da forma:
A equação característica é:
No nosso caso, temos $ a = 1 $, $ b = -8 $ e $ c = 16 $. Então, a equação característica fica:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de $ r $. A fórmula de Bhaskara (ou fórmula quadrática) é:
Substituindo os valores:
Então, temos uma raiz dupla $ r = 4 $.
Passo 4
Quando a equação característica tem raízes reais e iguais, ou seja, uma raiz dupla $ r $, a solução geral da EDO é dada por:
Aqui, $ C_{1} $ e $ C_{2} $ são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais (se forem fornecidas).
Resposta
A solução geral da equação é