Ache a solução geral da equação
d^2 yd x^2-8 d yd x+16 y=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem:
d^2 yd x^2 - 8 d yd x + 16 y = 0
Isso faz parte da matéria de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), mais especificamente das equações lineares homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar usar a equação característica.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a equação característica. Para uma EDO da forma:
ad^2 yd x^2 + bd yd x + c y = 0
A equação característica é:
a r^2 + b r + c = 0
No nosso caso, temos $ a = 1 $, $ b = -8 $ e $ c = 16 $. Então, a equação característica fica:
a = 1

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de $ r $. A fórmula de Bhaskara (ou fórmula quadrática) é:
r
Substituindo os valores:
r = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Então, temos uma raiz dupla $ r = 4 $.

Passo 4

Quando a equação característica tem raízes reais e iguais, ou seja, uma raiz dupla $ r $, a solução geral da EDO é dada por:
r
Aqui, $ C_{1} $ e $ C_{2} $ são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais (se forem fornecidas).

Resposta

A solução geral da equação é
y(x) = (C1 + C2 x) e^4x

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