Ache a solução geral da equação
d^2 xd t^2-9 x=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A equação é:
d^2 xd t^2 - 9x = 0
Estamos lidando com uma equação diferencial ordinária de segunda ordem. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar soluções gerais para esse tipo de equação, usando conceitos de equações características.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação de uma forma mais familiar:
d^2 xd t^2 = 9x
Isso nos mostra que a segunda derivada de $ x $ em relação a $ t $ é igual a 9 vezes $ x $.

Passo 3

Para resolver essa equação, usamos a técnica das equações características. A ideia é supor que a solução tem a forma exponencial, ou seja:
x(t) = e^rt
onde $ r $ é uma constante que precisamos encontrar.

Passo 4

Agora, vamos derivar $ x(t) = e^{rt} $ em relação a $ t $:
Primeira derivada:
x(t) = e^rt
Segunda derivada:
t

Passo 5

Substituímos essas derivadas na equação original:
r^2 e^rt - 9 e^rt = 0
Podemos fatorar $ e^{rt} $:
e^rt
Como $ e^{rt} $ nunca é zero, temos:
e^rt (r^2 - 9) = 0

Passo 6

Resolvemos essa equação para $ r $:
r
Então, temos duas soluções distintas baseadas nos valores de $ r $:
r^2 = 9 r = pm 3

Passo 7

A solução geral da equação diferencial é uma combinação linear dessas duas soluções:
x(t) = C1 e^3t + C2 e^-3t
onde $ C_{1} $ e $ C_{2} $ são constantes que podem ser determinadas por condições iniciais, se forem fornecidas.

Resposta

A solução geral da equação é:
x(t) = C1 e^3t + C2 e^-3t

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