Use a Regra da Cadeia para uma função de duas variáveis para determinar d zd t, onde
z=cos (2 x+y), x=e^t, y=t^2

Passo 1

O enunciado pede pra calcular dzdt usando Regra da Cadeia, onde temos a função composta z=cos(2x+y), com x=e^t e y=t^2. O conteúdo é Regra da Cadeia para funções de duas variáveis, então vamos precisar das derivadas parciais de z em relação a x e y, e também de dx/dt e dy/dt.

Passo 2

A Regra da Cadeia diz que, quando z=z(x,y) e x=x(t),y=y(t), então:
dzdt = partial zpartial xcdotdxdt + partial zpartial ycdotdydt

Passo 3

Vamos achar as derivadas parciais de z=cos(2x+y):
partial zpartial x = -sin(2x+y)cdot2,
partial zpartial y = -sin(2x+y)cdot1

Passo 4

Agora derivamos x=e^t e y=t^2 em relação a t:
dxdt = e^t,
dydt = 2t

Passo 5

Substituindo tudo na fórmula da Cadeia e simplificando:
dzdt = l(-2sin(2x+y)r)e^t + l(-sin(2x+y)r)2t = -2e^tsin(2x+y) -2tsin(2x+y)
Fatorando -sin(2x+y):
dzdt = -sin(2x+y),(2e^t + 2t)

Passo 6

Por fim, substituímos x=e^t e y=t^2 no argumento do seno, onde 2x+y = 2e^t + t^2.

Resposta

dzdt = -sinl(2e^t + t^2r),(2e^t + 2t)

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