Beleza, vamos resolver essa integral tripla: , onde é a região cônica definida por .
Aqui, estamos lidando com cálculo multivariável, especificamente integrais triplas em coordenadas cartesianas. Para facilitar a resolução, vamos mudar para coordenadas cilíndricas, que são mais adequadas para regiões com simetria circular, como essa cônica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como transformar as coordenadas cartesianas para cilíndricas:
Nesse sistema, r é a distância radial do eixo z, theta é o ângulo em torno do eixo z, e z permanece o mesmo. O diferencial de volume dx , dy , dz se transforma em r , dr , dtheta , dz.
Passo 3
Vamos reescrever a função que estamos integrando e a região W em coordenadas cilíndricas.
A função x^2 + y^2 em coordenadas cilíndricas fica:
x^2 + y^2 = r^2
A região W definida por raizx^2+y^2 <= z <= 1 fica:
r <= z <= 1
Passo 4
Agora, precisamos definir os limites de integração para r, theta e z.
Para theta, como a região é circular, ele varia de 0 a 2pi.
Para r, ele começa em 0 e vai até z (pois r <= z).
Para z, varia de 0 até 1.
Passo 5
Vamos montar a integral em coordenadas cilíndricas com esses limites:
integral triplaW r^2 cdot r , dr , dtheta , dz = integral0^2pi integral0^1 integral0^z r^3 , dr , dz , dtheta
Aqui, r^3 vem de r^2 da função e multiplicado por r do diferencial de volume.
Passo 6
Vamos integrar em passos. Primeiro, a integração em relação a r: