Calcule as integrais
integral triplaW(x^2+y^2) d x d y d z onde W é a região cônica raizx^2+y^2 <= z <= 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral tripla: integral triplaW(x^2+y^2) , dx , dy , dz, onde W é a região cônica definida por raizx^2+y^2 <= z <= 1.
Aqui, estamos lidando com cálculo multivariável, especificamente integrais triplas em coordenadas cartesianas. Para facilitar a resolução, vamos mudar para coordenadas cilíndricas, que são mais adequadas para regiões com simetria circular, como essa cônica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como transformar as coordenadas cartesianas para cilíndricas:
x = r costheta y = r sintheta z = z
Nesse sistema, r é a distância radial do eixo z, theta é o ângulo em torno do eixo z, e z permanece o mesmo. O diferencial de volume dx , dy , dz se transforma em r , dr , dtheta , dz.

Passo 3

Vamos reescrever a função que estamos integrando e a região W em coordenadas cilíndricas.
A função x^2 + y^2 em coordenadas cilíndricas fica:
x^2 + y^2 = r^2
A região W definida por raizx^2+y^2 <= z <= 1 fica:
r <= z <= 1

Passo 4

Agora, precisamos definir os limites de integração para r, theta e z.
  • Para theta, como a região é circular, ele varia de 0 a 2pi.
  • Para r, ele começa em 0 e vai até z (pois r <= z).
  • Para z, varia de 0 até 1.

Passo 5

Vamos montar a integral em coordenadas cilíndricas com esses limites:
integral triplaW r^2 cdot r , dr , dtheta , dz = integral0^2pi integral0^1 integral0^z r^3 , dr , dz , dtheta
Aqui, r^3 vem de r^2 da função e multiplicado por r do diferencial de volume.

Passo 6

Vamos integrar em passos. Primeiro, a integração em relação a r:
integral0^z r^3 , dr = [ r^44 ]0^z = z^44

Passo 7

Substituindo esse resultado na integral, temos:
integral0^2pi integral0^1 z^44 , dz , dtheta
Agora, integraremos em relação a z.

Passo 8

Integração em relação a z:
integral0^1 z^44 , dz = 14 cdot [ z^55 ]0^1 = 14 cdot 15 = 120

Passo 9

Substituindo de volta, a integral fica:
integral0^2pi 120 , dtheta = 120 cdot [ theta ]0^2pi = 120 cdot 2pi = pi10

Resposta

O valor da integral tripla é pi10.

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