Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe
lim (x, y) (0,0) sen(x^2)2 x^2+2 y^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite de uma função de duas variáveis: queremos avaliar lim(x,y)to(0,0)sen(x^2)2x^2+2y^2. O conteúdo envolvido é limite em múltiplas variáveis e teste de existência usando caminhos distintos.

Passo 2

Para funções de duas variáveis, se o limite existir ele deve ser o mesmo ao longo de qualquer caminho que leve a (0,0). Vamos, então, usar o caminho genérico y = m,x, com m constante.
Substituindo y = m,x na expressão, temos:
sen(x^2)2x^2+2y^2|y=mx = sen(x^2)2x^2 + 2m^2x^2 = sen(x^2)2x^2(1 + m^2)

Passo 3

Para avaliar o limite quando xto0, usamos o fato de que limtto0sen(t)t = 1. Aqui tomamos t = x^2, de modo que sen(x^2)/x^2 to 1. Logo:
limxto0 sen(x^2)2x^2(1+m^2) = 12(1 + m^2)

Passo 4

Escolhendo trajetórias específicas, vemos que o valor depende de m: para m=0 (ou seja, y=0) obtemos 1/(2(1+0)) = 1/2; para m=1 (ou seja, y=x) obtemos 1/(2(1+1)) = 1/4.

Resposta

O limite não existe, pois caminhos diferentes dão valores diferentes (por exemplo, 1/2 e 1/4).

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