Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite de uma função de duas variáveis: queremos avaliar . O conteúdo envolvido é limite em múltiplas variáveis e teste de existência usando caminhos distintos.
Passo 2
Para funções de duas variáveis, se o limite existir ele deve ser o mesmo ao longo de qualquer caminho que leve a . Vamos, então, usar o caminho genérico , com constante.
Substituindo na expressão, temos:
Passo 3
Para avaliar o limite quando xto0, usamos o fato de que limtto0sen(t)t = 1. Aqui tomamos t = x^2, de modo que sen(x^2)/x^2 to 1. Logo:
limxto0 sen(x^2)2x^2(1+m^2) = 12(1 + m^2)
Passo 4
Escolhendo trajetórias específicas, vemos que o valor depende de m: para m=0 (ou seja, y=0) obtemos 1/(2(1+0)) = 1/2; para m=1 (ou seja, y=x) obtemos 1/(2(1+1)) = 1/4.
Resposta
O limite não existe, pois caminhos diferentes dão valores diferentes (por exemplo, 1/2 e 1/4).