Ache a solução geral da equação
d^4 zd y^4=0

Passo 1

Aqui, temos a equação diferencial de quarta ordem d^4 zd y^4 = 0. Vamos trabalhar com o conteúdo de equações diferenciais, especificamente equações diferenciais lineares de ordem superior. Para resolver essa equação, vamos precisar integrar a equação várias vezes para encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que d^4 zd y^4 = 0 significa que a quarta derivada de z em relação a y é zero. Isso implica que ao integrar essa equação, vamos diminuir a ordem da derivada.

Passo 3

Vamos integrar a equação uma vez em relação a y:
d^4 zd y^4 = 0 implies d^3 zd y^3 = C1
Onde C1 é uma constante de integração. Isso significa que a terceira derivada de z é constante.

Passo 4

Agora, integramos novamente:
d^3 zd y^3 = C1 implies d^2 zd y^2 = C1 y + C2
Aqui, C2 é outra constante de integração. A segunda derivada de z agora é uma função linear de y.

Passo 5

Continuando a integração:
d^2 zd y^2 = C1 y + C2 implies d zd y = C12 y^2 + C2 y + C3
C3 é mais uma constante de integração. A primeira derivada de z é uma função quadrática de y.

Passo 6

Por fim, integramos uma última vez para encontrar z:
d zd y = C12 y^2 + C2 y + C3 implies z(y) = C16 y^3 + C22 y^2 + C3 y + C4
Onde C4 é a última constante de integração. Agora temos a solução completa para z.

Resposta

A solução geral da equação é
z(y) = C16 y^3 + C22 y^2 + C3 y + C4

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