Esboce a região de integração
integral0^2 pi integral0^2 r^2 d r d theta

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente esboçar a região de integração da integral dupla integral0^2 pi integral0^2 r^2 , dr , dtheta. Isso está relacionado ao cálculo em coordenadas polares, então vamos precisar entender como funcionam as coordenadas polares e como interpretar os limites de integração para desenhar a região correta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são coordenadas polares. Em vez de usar (x, y), usamos (r, θ), onde:
  • r é a distância do ponto até a origem.
  • θ é o ângulo que o raio faz com o eixo positivo x.
No nosso caso, a integral está com r indo de 0 a 2 e θ indo de 0 a 2pi.

Passo 3

Vamos analisar os limites de integração:
  1. Para r: De 0 a 2. Isso significa que estamos considerando todos os pontos que estão a uma distância mínima de 0 (a origem) até uma distância máxima de 2 unidades do centro.
  2. Para θ: De 0 a 2pi. Esse intervalo cobre todos os ângulos em volta da origem, ou seja, uma volta completa de 360 graus.

Passo 4

Com esses limites, podemos visualizar a região. Como r varia de 0 a 2 para todos os ângulos de 0 a 2pi, estamos falando de todos os pontos que formam um círculo completo com raio 2, centrado na origem.

Passo 5

Então, para esboçar a região de integração:
  1. Desenhe um círculo com centro na origem.
  2. Marque o raio do círculo como 2 unidades.
  3. Sombreie todo o interior do círculo, já que θ cobre toda a volta.

Resposta

A região de integração é um círculo completo com raio igual a 2 unidades, centrado na origem do sistema de coordenadas polares.

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