Esboce a região de integração
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente esboçar a região de integração da integral dupla
. Isso está relacionado ao cálculo em coordenadas polares, então vamos precisar entender como funcionam as coordenadas polares e como interpretar os limites de integração para desenhar a região correta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são coordenadas polares. Em vez de usar (x, y), usamos (r, θ), onde:
- r é a distância do ponto até a origem.
- θ é o ângulo que o raio faz com o eixo positivo x.
No nosso caso, a integral está com r indo de 0 a 2 e θ indo de 0 a
.
Passo 3
Vamos analisar os limites de integração:
- Para r: De 0 a 2. Isso significa que estamos considerando todos os pontos que estão a uma distância mínima de 0 (a origem) até uma distância máxima de 2 unidades do centro.
- Para θ: De 0 a
. Esse intervalo cobre todos os ângulos em volta da origem, ou seja, uma volta completa de 360 graus.
Passo 4
Com esses limites, podemos visualizar a região. Como r varia de 0 a 2 para todos os ângulos de 0 a
, estamos falando de todos os pontos que formam um círculo completo com raio 2, centrado na origem.
Passo 5
Então, para esboçar a região de integração:
- Desenhe um círculo com centro na origem.
- Marque o raio do círculo como 2 unidades.
- Sombreie todo o interior do círculo, já que θ cobre toda a volta.
Resposta
A região de integração é um círculo completo com raio igual a 2 unidades, centrado na origem do sistema de coordenadas polares.