Determine uma equação do plano tangente à superfície no ponto especificado
z=2 x^2-x y+y^2-1, (0,0,-1)

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano tangente à superfície definida por z = 2x^{2} - x y + y^{2} - 1 no ponto (0,0,-1). O conteúdo envolve derivadas parciais e a fórmula geral do plano tangente a uma superfície z = f(x,y).

Passo 2

Primeiro vamos calcular as derivadas parciais de f(x,y)=2x^{2} - x y + y^{2} - 1. Temos
fx(x,y)=partialpartial x(2x^2-xy+y^2-1)=4x - y,
fy(x,y)=partialpartial y(2x^2-xy+y^2-1)=-x + 2y
Agora avaliamos em (0,0): f_x(0,0)=4\cdot0-0=0 e f_y(0,0)=-0+2\cdot0=0.

Passo 3

A fórmula do plano tangente a z=f(x,y) em (x_{0},y_{0},z_{0}) é
z - z0 = fx(x0,y0)(x - x0) + fy(x0,y0)(y - y0)
Substituindo (x_{0},y_{0},z_{0})=(0,0,-1) e f_x(0,0)=0, f_y(0,0)=0, obtemos
z - (-1) = 0cdot(x-0) + 0cdot(y-0)
Ou seja, z + 1 = 0, portanto z = -1.

Resposta

z = -1

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