Determine uma equação do plano tangente à superfície no ponto especificado
Passo 1
O enunciado pede a equação do plano tangente à superfície definida por z = 2x^{2} - x y + y^{2} - 1 no ponto (0,0,-1). O conteúdo envolve derivadas parciais e a fórmula geral do plano tangente a uma superfície z = f(x,y).
Passo 2
Primeiro vamos calcular as derivadas parciais de f(x,y)=2x^{2} - x y + y^{2} - 1. Temos
Agora avaliamos em (0,0): f_x(0,0)=4\cdot0-0=0 e f_y(0,0)=-0+2\cdot0=0.
Passo 3
A fórmula do plano tangente a z=f(x,y) em (x_{0},y_{0},z_{0}) é
Substituindo (x_{0},y_{0},z_{0})=(0,0,-1) e f_x(0,0)=0, f_y(0,0)=0, obtemos
Ou seja, z + 1 = 0, portanto z = -1.
Resposta
z = -1