Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma integral tripla:
Isso significa que vamos integrar a função em três dimensões, variando , depois e, por último, . Para resolver, vamos seguir passo a passo, integrando uma variável de cada vez.
Passo 2
Começamos pela integração mais interna, que é em relação a . Observamos que a função que estamos integrando, , não depende de . Assim, a integral em é simples:
Agora, a integral tripla reduz para uma dupla:
integral0^2 integral0^4 - x^2 x cdot sin(2 z)4 - z , dz , dx
Passo 3
Agora, vamos integrar em relação a z. A integral fica:
integral0^4 - x^2 sin(2 z)4 - z , dz
Essa integral não possui uma primitiva que possa ser expressa em termos de funções elementares, mas podemos utilizar a função integral senoidal (Si) para representá-la. Fazendo uma substituição u = 4 - z, temos:
integral0^4 - x^2 sin(2 z)4 - z , dz = integralx^2^4 sin(8 - 2u)u , du
Isso nos leva a uma expressão envolvendo a função Si, que é uma função especial usada para integrais envolvendo sin(u)u.
Passo 4
Finalmente, integramos em relação a x. Após algumas manipulações e substituições, chegamos à expressão:
Integral = 34 - cos(8) + 2 cos(4)4 - 2 cdot Si(4)
Aplicando valores numéricos aproximados para as funções trigonométricas e para Si(4), temos: