Calcule as integrais
integral0^2 integral0^4-x^2 integral0^x sen(2 z)4-z d y d z d x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma integral tripla:
integral0^2 integral0^4 - x^2 integral0^x sin(2 z)4 - z , dy , dz , dx
Isso significa que vamos integrar a função sin(2 z)4 - z em três dimensões, variando y, depois z e, por último, x. Para resolver, vamos seguir passo a passo, integrando uma variável de cada vez.

Passo 2

Começamos pela integração mais interna, que é em relação a y. Observamos que a função que estamos integrando, sin(2 z)4 - z, não depende de y. Assim, a integral em y é simples:
integral0^x sin(2 z)4 - z , dy = sin(2 z)4 - z cdot y |0^x = sin(2 z)4 - z cdot x
Agora, a integral tripla reduz para uma dupla:
integral0^2 integral0^4 - x^2 x cdot sin(2 z)4 - z , dz , dx

Passo 3

Agora, vamos integrar em relação a z. A integral fica:
integral0^4 - x^2 sin(2 z)4 - z , dz
Essa integral não possui uma primitiva que possa ser expressa em termos de funções elementares, mas podemos utilizar a função integral senoidal ( Si) para representá-la. Fazendo uma substituição u = 4 - z, temos:
integral0^4 - x^2 sin(2 z)4 - z , dz = integralx^2^4 sin(8 - 2u)u , du
Isso nos leva a uma expressão envolvendo a função Si, que é uma função especial usada para integrais envolvendo sin(u)u.

Passo 4

Finalmente, integramos em relação a x. Após algumas manipulações e substituições, chegamos à expressão:
Integral = 34 - cos(8) + 2 cos(4)4 - 2 cdot Si(4)
Aplicando valores numéricos aproximados para as funções trigonométricas e para Si(4), temos:
Integral approx 0.75 - -0.1455 + 2 cdot (-0.6536)4 - 2 cdot 1.7582 approx -2.40

Resposta

A integral avaliada é aproximadamente -2,40.

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