Ache a solução geral da equação diferencial
4 d^2 yd x^2-4 d yd x+y=0

Passo 1

Temos a equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes:
4 d^2ydx^2 - 4 dydx + y = 0
O conteúdo aqui é EDO linear de segunda ordem; vamos usar a teoria da equação característica.

Passo 2

Assumimos uma solução do tipo y=e^rx. Substituindo na EDO, cada derivada vira um fator de r, o que gera a equação algébrica (característica):
4r^2 - 4r + 1 = 0

Passo 3

Resolvendo a equação quadrática
4r^2 - 4r + 1 = 0
pela fórmula de Bhaskara, o discriminante é
De
Logo existe uma raiz real dupla:
r = 42cdot4 = 12

Passo 4

Quando a raiz r da característica é real dupla, a solução geral da EDO fica:
y(x) = (C1 + C2x)e^rx
Substituindo r = tfrac12, obtemos a forma final.

Resposta

y(x) = (C_{1} + C_{2}x)e^{\tfrac{x}{2}}

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