Use a transformação
para determinar
da região retangular
envolvida pelas retas
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular uma integral dupla sobre uma região retangular usando a transformação $ u = x + y $ e $ v = x - y $. A matéria envolvida aqui é cálculo multivariável, especificamente mudança de variáveis em integrais duplas. Vamos precisar entender como fazer a substituição de variáveis, calcular o Jacobiano dessa transformação e então integrar na nova região transformada.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar $ x $ e $ y $ em termos de $ u $ e $ v $. Temos:
Podemos resolver esse sistema para $ x $ e $ y $:
Passo 3
Agora, precisamos calcular o determinante do Jacobiano dessa transformação. O Jacobiano é uma matriz que envolve as derivadas parciais de $ x $ e $ y $ em relação a $ u $ e $ v $:
Calculando as derivadas:
Então,
O valor absoluto do Jacobiano é $ \frac{1}{2} $.
Passo 4
Agora, vamos determinar os limites de integração na nova coordenada $ u $ e $ v $. A região $ R $ é delimitada pelas retas:
Então, na nova coordenada, $ u $ varia de 0 a 1 e $ v $ varia de 1 a 4.
Passo 5
Agora, substituímos tudo na integral original. A expressão $ x - y $ em termos de $ v $ é simplesmente $ v $, e $ x^2 - y^2 $ pode ser reescrito como:
Então, a integral fica:
Passo 6
Vamos integrar primeiro em relação a $ u $ e depois em relação a $ v $:
A integral interna é:
Fazendo a substituição $ w = uv $, $ dw = v , du $, quando $ u = 0 $, $ w = 0 $; e quando $ u = 1 $, $ w = v $:
Passo 7
Substituindo de volta na integral externa:
Calculando as integrais:
Então,
Resposta
A integral vale $ I = \frac{1}{2} \left( e^{4} - e - 3 \right) $.