Use a transformação u=x+y, v=x-y para determinar
I=integral duplaR(x-y) e^x^2-y^2 d A
da região retangular R envolvida pelas retas x+y=0, x+y=1, x-y=1, x-y=4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular uma integral dupla sobre uma região retangular usando a transformação $ u = x + y $ e $ v = x - y $. A matéria envolvida aqui é cálculo multivariável, especificamente mudança de variáveis em integrais duplas. Vamos precisar entender como fazer a substituição de variáveis, calcular o Jacobiano dessa transformação e então integrar na nova região transformada.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar $ x $ e $ y $ em termos de $ u $ e $ v $. Temos:
x
Podemos resolver esse sistema para $ x $ e $ y $:
y

Passo 3

Agora, precisamos calcular o determinante do Jacobiano dessa transformação. O Jacobiano é uma matriz que envolve as derivadas parciais de $ x $ e $ y $ em relação a $ u $ e $ v $:
x
Calculando as derivadas:
y
Então,
u
O valor absoluto do Jacobiano é $ \frac{1}{2} $.

Passo 4

Agora, vamos determinar os limites de integração na nova coordenada $ u $ e $ v $. A região $ R $ é delimitada pelas retas:
u
Então, na nova coordenada, $ u $ varia de 0 a 1 e $ v $ varia de 1 a 4.

Passo 5

Agora, substituímos tudo na integral original. A expressão $ x - y $ em termos de $ v $ é simplesmente $ v $, e $ x^2 - y^2 $ pode ser reescrito como:
x - y
Então, a integral fica:
v

Passo 6

Vamos integrar primeiro em relação a $ u $ e depois em relação a $ v $:
u
A integral interna é:
v
Fazendo a substituição $ w = uv $, $ dw = v , du $, quando $ u = 0 $, $ w = 0 $; e quando $ u = 1 $, $ w = v $:
I = 12 integralv=1^4 integralu=0^1 v cdot e^uv , du , dv

Passo 7

Substituindo de volta na integral externa:
I = 12 integral1^4 (e^v - 1) , dv = 12 ( integral1^4 e^v , dv - integral1^4 1 , dv )
Calculando as integrais:
integral1^4 e^v , dv = e^4 - e^1 integral1^4 1 , dv = 4 - 1 = 3
Então,
I = 12 ( e^4 - e - 3 )

Resposta

A integral vale $ I = \frac{1}{2} \left( e^{4} - e - 3 \right) $.

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