Ache a solução geral da equação diferencial dada.
(1+x) d yd x-x y=x+x^2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
(1+x),dydx-x,y = x + x^2
Isto é uma equação linear no formato padrão
dydx + P(x),y = Q(x)
Vamos identificar P(x) e Q(x), calcular o fator integrante, e então obter a solução geral.

Passo 2

Primeiro colocamos a equação em forma padrão dividindo tudo por (1+x):
dydx - x1+x,y = x + x^21+x
Note que x+x^21+x = x. Logo nosso P(x) e Q(x) são
P(x) = -x1+x, Q(x) = x

Passo 3

O fator integrante mu(x) é
mu(x) = expl(integral P(x),dxr) = expl(-integral x1+x,dxr)
Fazendo a divisão x/(1+x)=1 - 1/(1+x), temos
integral x1+x,dx = integrall(1 - 11+xr)dx = x - lnlvert 1+xrvert
Portanto
mu(x) = expl(-x + ln(1+x)r) = (1+x),e^-x

Passo 4

Multiplicamos a equação original por mu(x). O lado esquerdo vira derivada do produto:
ddxl[mu(x),yr] = mu(x),Q(x) = (1+x),e^-x,l(xr) = x(1+x)e^-x
Então integramos ambos os lados:
mu(x),y = integral x(1+x)e^-x,dx + C

Passo 5

Para calcular
integral x(1+x)e^-x,dx = integral (x + x^2),e^-x,dx,
usamos integração por partes ou a fórmula para integral x^ne^-xdx. O resultado é
integral (x + x^2),e^-x,dx = -e^-x,(x^2+3x+3) + C1
Assim
mu(x),y = -e^-x,(x^2+3x+3) + C,
onde C absorveu C1.

Passo 6

Lembrando que mu(x)=(1+x)e^-x, temos
(1+x)e^-x,y = -e^-x(x^2+3x+3) + C
Multiplicando por e^x,
(1+x),y = -(x^2+3x+3) + C,e^x

Passo 7

Finalmente isolamos y:
y = C,e^x - (x^2+3x+3),1+x, = C,e^x1+x ;-;x^2+3x+31+x

Resposta

A solução geral é
y(x) = C,e^x1+x ;-;x^2+3x+31+x,
onde C é constante arbitrária.

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